Mostrar código-fonte de Astroide

{{Não confundir com|Asteroide}}
[[Imagem:Astroid.svg|miniatura|Um astroide.]]
[[Imagem:HypotrochoidOn4.gif|miniatura|A construção do astroide.]]
[[Imagem:Astroid created with Elipses with a plus b const.svg|miniatura|O astroide sendo representado como um envelope comum de uma família de elipses  traçadas, onde a + b = const.]]
Um '''astroide''' é um tipo específico de [[curva]] matemática: uma [[hipocicloide]] com quatro vértices. Especificamente, é o [[lugar geométrico]] de um ponto num [[círculo]] que gira quatro vezes dentro de um círculo fixo num [[Raio (geometria)|raio]].<ref name="Yates">{{Citar livro| primeiro=R.C. |último=Yates | título=A Handbook on Curves and Their Properties | local=Ann Arbor, MI | editora=J. W. Edwards | página=1 ff.|capítulo=Astroid| ano=1952 |língua=inglês}}</ref><ref>{{citar web |último=Nunes |primeiro=Paulo |título=Astroide |url=http://knoow.net/cienciasexactas/matematica/astroide/ |obra=Knoow.net |data=1 de dezembro de 2015}}</ref> Pela geratriz dupla, é também o lugar geométrico de um ponto num círculo, na medida em que gira dentro de um círculo fixo com o raio em 4/3 vezes. Pode igualmente ser definido como uma envoltória de um segmento de reta com um ponto de extremidade em cada um dos eixos. Por conseguinte, é a envoltória da barra móvel do Tresmalho de Arquimedes.

O nome contemporâneo deriva da palavra grega que significa "estrela". Originalmente, foi proposto na forma de "Astrois", pelo astrónomo austríaco [[Joseph Johann von Littrow]] em 1838.<ref>{{citar livro|autorlink=Joseph Johann von Littrow|primeiro=Joseph Johann von|último=Littrow|título=Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik|capítulo=§99. Die Astrois|ano=1838|local=Viena|página=299|url=https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&pg=PA299|língua=alemão}}</ref><ref>{{citar livro|último=Loria|primeiro=Gino|título=Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte|ano=1902|local=Lípsia|página=224|língua=alemão}}</ref> A curva possui vários nomes, que incluem '''tetracúspide''' (ainda utilizado), cubocicloide, e paraciclo. É praticamente similar à [[evoluta]] de uma [[elipse]].

== Equações ==
Se o raio do círculo fixo for ''a'', então a equação é feita por:<ref name="Yates" />
:<math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. \,</math>
Isto implica que um astroide é também uma [[superelipse]].

As [[Equação paramétrica|equações paramétricas]] são:
:<math>x=a\cos^3 t = {a \over 4}( 3\cos t + \cos 3t),</math>
:<math>y=a\sin^3 t = {a \over 4}( 3\sin t - \sin 3t).</math>

Uma equação pedal em relação à origem é: 
:<math>r^2 = a^2 - 3p^2,</math>

A equação de Whewell é:
:<math>s = {3a \over 4} \cos 2\varphi,</math>

E a [[equação de Cesàro]] é:
:<math>R^2 + 4s^2 = \frac{9a^2}{4}.</math>

A [[Coordenadas polares|equação polar]] é:<ref>{{MathWorld | urlname=Astroid | title=Astroid}}</ref>
:<math>r=\frac{a}{(\cos^{2/3}\theta+\sin^{2/3}\theta)^{3/2}}.</math>

O astroide é um lugar geométrico real de uma [[Curva algébrica|curva algébrica plana]] de género zero. Tem a seguinte equação:<ref>{{citar web |título=Astroid ∗ |url=http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf |publicado=Xah Code |acessodata=11 de março de 2019 |página=3 |língua=inglês}}</ref>

:<math>(x^2+y^2-a^2)^3+27a^2x^2y^2=0. \,</math>

O astroide é portanto uma curva algébrica real de sexto grau.

== Derivação da equação polinomial ==
A equação polinomial pode ser derivada da equação de Leibniz através da álgebra elementar:

:<math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. \,</math>

Em ambos os lados do cubo:

:<math>x^{6/3} + 3x^{4/3}y^{2/3} + 3x^{2/3}y^{4/3} + y^{6/3} = a^{6/3} \,</math>
:<math>x^2 + 3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) + y^2 = a^2 \,</math>
:<math>x^2 + y^2 - a^2 = -3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) \,</math>

Em ambos os lados do cubo de novo:

:<math>(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2(x^{2/3} + y^{2/3})^3 \,</math>

Mas desde que:

:<math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} \,</math>

Siga assim:

:<math>(x^{2/3} + y^{2/3})^3 = a^2. \,</math>

Sendo:

:<math>(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2a^2 \,</math>

ou:

:<math>(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27x^2y^2a^2 = 0. \,</math>

== Propriedades métricas ==
;Uma área envolvente<ref name="Yates" />
:<math>\frac{3}{8} \pi a^2</math>

;Comprimento da curva
:<math>6a</math>

;O volume da [[superfície de revolução]] da área envolvente sobre o eixo ''x''.
:<math>\frac{32}{105}\pi a^3</math>

;A área da superfície de revolução sobre o eixo ''x''
:<math>\frac{12}{5}\pi a^2</math>

== Propriedades ==
O astroide tem quatro vértices nas singularidades do plano real, os pontos da estrela. Possui mais duas singularidades complexas na infinidade, e quatro pontos duplos complexos, tendo um total de dez singularidades.

A curva dupla relativa ao astroide é a curva cruciforme, com a equação: <math>\textstyle x^2 y^2 = x^2 + y^2.</math> A evoluta de um astroide é duas vezes maior.

== Ver também ==
* [[Cardioide]]
* [[Nefroide]]
* [[Curva deltoide]]
* [[Astroide de Stoner–Wohlfarth]]

{{Referências|col=2}}

* {{Citar livro | primeiro=J. Dennis |último=Lawrence | título=A catalog of special plane curves | editora=Dover Publications | ano=1972 | isbn=0-486-60288-5 | página=4–5,34–35,173–174 |língua=inglês}}
* {{Citar livro | primeiro= Wells |último=D | ano= 1991 | título= The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | editora= Penguin Books | local=Nova Iorque | isbn = 0-14-011813-6 | página= 10&ndash;11 |língua=inglês}}

== Ligações externas ==
{{Commonscat|Astroid}}
* {{springer|title=Astroide|id=p/a013540}}
* {{Link|idioma=en|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Astroid.html|título=Astroide|descr=na [[Universidade de St Andrews]]}}
* {{Link|idioma=fr|url=http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/astroid/astroid.shtml|título=Astroide|descr=na ''Enciclopédia das Formas Notáveis''|ligação inativa=sim|datali=março de 2019}}
* {{Link|idioma=en|url=http://www.2dcurves.com/roulette/roulettea.html|título=Astroide|descr=na 2dcurves.com}}
* {{Link|idioma=en|url=http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.html|título=Astroide|descr=no ''Dicionário Visual de Curvas Planas Especiais''}}
* {{Link|idioma=en|url=http://demonstrations.wolfram.com/BarsOfAnAstroid/|título=Barras de um astroide|descr=no [[Wolfram Demonstrations Project]] de Sándor Kabai}}

{{Controlo de autoria}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Curvas algébricas]]