Mostrar código-fonte de Centro de massas

[[Ficheiro:Orbital_motion.gif|miniaturadaimagem|188x188px|O centro de massas é o único ponto do satélite que segue a trajetória indicada.]]
Em [[física]], o '''centro de massas''' é o ponto hipotético onde toda a [[massa]] de um [[sistema físico]] está concentrada e que se move como se todas as [[força]]s externas estivessem sendo aplicadas nesse ponto.

Se o sistema for constituído por um [[Corpo (física)|corpo]], o centro de massas pode ser considerado como o ponto onde aplicada uma força o corpo se move sem rotacionar, com [[torque]] resultante zero. Se o sistema for constituído por mais de um corpo, o centro de massas será o ponto em que, se unir os corpos em suas respectivas posições por um elemento que os integre (tal como um segmento rígido), pode ser suspendido mantendo todos os corpos a uma mesma altura.

O uso do centro de massas na [[mecânica clássica]] é atribuído à simplificação de movimentos compostos realizados por [[Corpo rígido|corpos rígidos]] – aqueles em que a posição relativa das partículas que o compõem não muda ao longo do tempo - transformando-os em movimentos simples, onde é possível que haja aplicação das [[Leis de Newton]] como uma partícula. Quando um objeto de formato irregular é lançado ao ar, por exemplo, há diferentes movimentos em todas as partículas que o constituem, entretanto, há um ponto em que segue o movimento de tal objeto como se fosse uma partícula, esse ponto é o centro de massas.<ref>Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2008). Lições de Física–Vol. 1. Tradução de Adriana VR da Silva e Kaline R. Coutinho. Porto Alegre: Bookman.</ref>

O centro de massas também pode ser chamado de [[centro de gravidade]] quando um corpo estiver sob a influência de um [[campo gravitacional]] uniforme, ou seja, aquele em que a força gravitacional é igualmente exercida em todos os pontos do objeto. Ainda, se um objeto tiver forma regular e [[densidade]] homogênea, o centro de massas coincidirá com o [[centroide]], ou seja, o centro geométrico do objeto.

==História ==
[[Ficheiro:Equilíbrio_de_uma_alavanca_a_partir_do_ponto_denominado_Centro_de_Massa.png|233x233px|Considerando que os corpos possuem mesma massa e estão à mesma distância do fulcro da alavanca, nas duas situações o centro de massas se localizará sobre o ponto de apoio, mesmo com os corpos ocupando posições diferentes nesses casos.|miniaturadaimagem]]
Inicialmente, o conceito de centro de massas foi apresentado na forma de centro de gravidade na Grécia Antiga por [[Arquimedes|Arquimedes de Siracusa]], [[engenheiro]], [[físico]] e [[matemático]]. Isso se deve por que o centro de massas em um objeto é o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. Trabalhando em campo gravitacional uniforme, ele demonstrou que o torque exercido em uma [[alavanca]] sempre seria o mesmo se, mudando as posições dos objetos, o centro de massas permanecesse fixo.

Já em seu trabalho com corpos flutuantes, Arquimedes descobriu que a posição e orientação de um objeto na superfície de um [[fluido]] é aquela onde o centro de massa tende a ficar na posição mais baixa possível. Além dessas descobertas, ele desenvolveu técnicas matemáticas para definir o centro de massa de diversos objetos de densidade uniforme.<ref>Shore, Steven N. (2008), Forces in Physics: A Historical Perspective, Greenwood Press, <nowiki>ISBN 978-0313-33303-3</nowiki></ref>{{nota de rodapé|Esta seção foi traduzida e adaptada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Center_of_mass Center of Mass].}}

== Localização do centro de massas  ==
[[Ficheiro:Localização_do_Centro_de_Massa_pelo_método_Linha_de_Prumo.png|esquerda|miniaturadaimagem|321x321px|A intersecção das linhas de prumo no objeto é o Centro de Massa do mesmo.]]
Antes de se iniciar o processo, é necessário compreender que o centro de massas será o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. O experimento só terá efeito nesse caso. O centro de massas de um corpo de densidade uniforme estará localizado em seu [[eixo de simetria]].

Para encontrar o centro de massas de um objeto plano – como uma placa metálica ou um quadro – deve-se pendurá-lo em dois pontos diferentes, sendo que, em cada etapa, deve-se traçar uma linha reta vertical do ponto de suspensão até a base do objeto. Dessa forma, as duas linhas traçadas se encontrarão em um ponto comum, sendo esse o centro de massas do objeto.<ref>Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973), An Introduction to Mechanics (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035048-5</ref>

Para um objeto com um formato complexo – aqueles ainda planos, mas sem uma forma geométrica definida conhecida – é possível encontrar o centro de massas subdividindo-o em pequenas partes mais simples, sendo que, se for possível encontrar a massa total e o centro de massas de cada parte, então o centro de massas do objeto será a média de suas partes.<ref>Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1963), The Feynman Lectures on Physics, Addison Wesley, ISBN 0-201-02116-1</ref>

Esse processo também é válido para objetos ocos, valendo-se considerar o espaço vazio como uma massa negativa – o objeto será de densidade uniforme, então, basta apenas calcular a massa que existiria em determinado volume e considerá-la como negativa<ref>Hamill, Patrick (2009), Intermediate Dynamics, Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1</ref>.Para objetos de formato irregular, onde os métodos anteriores mostram-se ineficientes para medidas, pode-se ser utilizado um [[planímetro]] para realizar os cálculos de [[área]], e então conhecida a densidade do objeto, obter sua massa.<ref>SANGWIN, CHRISTOPHER J. (2006), "Locating the centre of mass by mechanical means", Journal of the Oughtred Society, 15, archived from the original on 5 October 2011, retrieved 23 October 2011.</ref>{{nota de rodapé|Esta seção também foi traduzida e adaptada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Center_of_mass Center of Mass].}}

==Centro de massas de um sistema de partículas==

[[Ficheiro:Centro_de_Massa_em_um_Sistema_de_partículas.png|centro|371x371px|Possível localização do centro de massa entre duas partículas.|miniaturadaimagem]]
Para definir o centro de massas (CM) de um sistema de partículas deve-se considerar três tipos de variáveis desse sistema: o número de partículas que o compõem, a massa e a posição de cada partícula. Podemos deduzir a equação geral da definição do Centro de Massas a partir de um sistema simples de apenas duas partículas.<ref name=":3">HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 1: Mecânica. 10ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 372 p.</ref>

===Sistema com duas partículas ===
Dadas duas partículas de massa <math>m_1</math> e <math>m_2</math> separadas por uma distância <math>d</math>, estabelece-se arbitrariamente a origem do eixo x como a posição da partícula de massa <math>m_1</math>.

A posição do centro de massas (CM) desse sistema de duas partículas pode ser definida como:

<div style="text-align: center;"><math> X_{cm} = {m_2 \over m_1 + m_2} \cdot d </math></div>

Se <math>m_2 = 0</math>, existe apenas uma partícula <math>m_1</math> e o centro de massas deve estar na posição dessa partícula <math>m_1</math> uma vez que <math>x_{cm}</math> será igual a zero.

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm} = {0 \over m_1 + 0} \cdot d \Rightarrow x_{cm} = 0</math><br>
</div>

Se <math>m_1 = 0</math>, o sistema apresenta apenas uma partícula (de massa <math>m_2</math>). A posição <math>x_{cm}</math> desta partícula será igual a <math>d</math>.

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm} = {m_2 \over 0 + m_2} \cdot d \Rightarrow x_{cm} = d</math><br>
</div>

Se <math>m_1 = m_2</math>, o centro de massas se encontra no ponto médio da distância entre as duas partículas.

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm} = {m_2 \over m_2 + m_2} \cdot d \Rightarrow x_{cm} = {1 \over 2} \cdot d \Rightarrow x_{cm} = {d \over 2}</math><br>
</div>

Se <math>m_1</math> e <math>m_2</math> forem diferentes de <math>0</math>, a posição <math>x_{cm}</math> do centro de massas assume valores entre <math>0</math> e <math>d</math> e é definida como:

<div style="text-align: center;"><math> x_{cm} = {m_1x_1 + m_2x_2 \over m_1 + m_2} </math><br>
</div>

Sendo <math>M</math> a massa total do sistema, ou seja, <math>M = m_1 + m_2</math><sub>,</sub> temos:

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm} = {m_1x_ + m_2x_2 \over M}</math><br>
</div>

===Sistema com n partículas ===
Considerando um sistema com o número ''n'' de partículas, podemos definir de forma geral o Centro de Massa a partir da equação anterior.

Dado um sistema com n partículas posicionadas ao longo de um eixo x, no qual a massa total é dada por <math>M= m_1 + m_2 + ... + m_n </math> , a posição do centro de massa é definida por:

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm}= {m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + ... + m_nx_n \over M}</math><math>=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}</math>
</div>

===Sistema de três dimensões ===
Uma vez que determinado sistema de partículas ocupa três [[Dimensão|dimensões]], a definição do centro de massas desse sistema deve ser feita considerando cada dimensão de forma independente.

Dado um sistema de com n partículas distribuídas em três dimensões, a posição do centro de massa é dada por três [[Sistema de coordenadas|coordenadas]] (x, y e z) definidas por:

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}\; \; \; y_{cm}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} m_{i}y_{i}\; \; \; z_{cm}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} m_{i}z_{i}  </math>
</div>

===Sistema de três dimensões (equação vetorial) ===
[[Ficheiro:Centro_de_Massa_em_um_Sistema_de_partículas_com_3_dimensões.jpg|244x244px|Exemplo de localização de uma partícula através dos vetores de posição.|miniaturadaimagem]]

O centro de massa de um sistema de três dimensões também pode ser definido a partir do [[vetor (matemática)|vetor]] [[posição]] desse sistema. Dada uma partícula de coordenadas <math>x_{i}</math>, <math>y_{i}</math> e <math>z_{i}</math> seu vetor posição é definido por:

<math>\overrightarrow{r} = x _{cm}\widehat{i}\; \; y _{cm}\widehat{J}\; \; z _{cm}\widehat{k}</math>

Em que o índice indica a partícula, e <math>\widehat{i}</math>, <math>\widehat{j} </math> e <math> \widehat{k}</math> são os vetores unitários que apontam, respectivamente, no sentido positivo do eixo x, y e z.

De forma análoga, a posição do centro de massa de um sistema de partículas é definida pelo vetor posição:

<div style="text-align: center;"><math>\overrightarrow{r}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} m_{i}\overrightarrow{r}_{i}</math></div>

Em que <math>M</math> é a massa total do sistema.

==Centro de massa de corpos maciços (homogêneos)<ref name=":3" />  ==
Para definir o centro de massa de objetos homogêneos divide-se e distribui-se a massa de um objeto de forma contínua, tornando cada partícula do objeto elementos infinitesimais de massa <math>dm</math>. Desta forma as coordenadas do centro de massa são definidas por:

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm} = \frac{1}{M}\int xdm\; \; y_{cm} = \frac{1}{M}\int ydm\; \; z_{cm} = \frac{1}{M}\int zdm</math>
</div>

Em que <math>M</math> é a massa do corpo.

Considerando que objetos homogêneos apresentam massa especifica (massa por unidade de volume) representada pelo símbolo ρ (letra grega rô) e que a mesma apresenta valores iguais para todos os elementos infinitesimais destes objetos define-se:

<div style="text-align: center;"><math>\rho = \frac{dm}{dV} = \frac{M}{V}</math></div>

Em que <math>dV</math> é o [[volume]] ocupado por um [[Infinitesimal|elemento de massa]] <math>dm</math>, e <math>V</math> é o volume total do objeto

<div style="text-align: center;"><math>x_{cm} = \frac{1}{V}\int xdV\; \; y_{cm} = \frac{1}{V}\int ydV\; \; z_{cm} = \frac{1}{V}\int zdV</math></div>

==Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas<ref name=":3" /> ==
=== Movimento do centro de massa de um sistema ===
Dado um conjunto de ''n'' partículas de massas (possivelmente) diferentes, para descrever o movimento do centro de massa desse conjunto (que age como uma partícula cuja massa é igual à massa total do sistema), deve-se atribuir-lhe uma posição, uma [[velocidade]] e uma [[aceleração]] definidos de acordo com a equação vetorial:

<div style="text-align: center;"><math>\overrightarrow{F}_{res} = M{\overrightarrow{a}_{cm}}</math></div>

<math>\overrightarrow{F}_{res}</math> é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema;

<math>M</math> é a massa total do sistema;

<math>\overrightarrow{a}_{cm}</math> é a aceleração do centro de massa do sistema.

Componentes de <math>\overrightarrow{F}_{res}</math> e <math>\overrightarrow{a}_{cm}</math>em relação à três eixos de coordenadas:

<div style="text-align: center;"><math>\overrightarrow{F}_{res, x} = M{\overrightarrow{a}_{cm,x}}\; \;\; \overrightarrow{F}_{res, y} = M{\overrightarrow{a}_{cm,y}}\; \;\; \overrightarrow{F}_{res, z} = M{\overrightarrow{a}_{cm,z}}  </math></div>

===Momento linear de um sistema de partículas ===
[[Ficheiro:Momento_Linear_de_um_Sistema_de_Partículas.png|miniaturadaimagem|384x384px|Momento Linear em um Sistema de Partículas é encontrado usando o centro de massas do sistema.]]
Dado um sistema com ''n'' partículas, onde cada partícula apresenta massa, velocidade e [[momento linear]] determinados. O momento linear total é definido como a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula.

<div style="text-align: center;"><math>\overrightarrow{P} = \overrightarrow{p_{1}}+\overrightarrow{p_{2}}+\overrightarrow{p_{3}}+...+\overrightarrow{p_{n}}</math><math>=m_{1}\overrightarrow{v}_{1}+m_{2}\overrightarrow{v}_{2}+m_{3}\overrightarrow{v}_{3}+...+m_{n}\overrightarrow{v}_{n}</math>
</div>

Desta forma temos o momento linear de um sistema de partículas definido por:

<div style="text-align: center;"><math>\overrightarrow{P} = M\overrightarrow{v}_{cm}</math></div>

== Uso do baricentro ==
Existem dois tipos de corpos conhecidos atualmente que servem para estabelecer formas de analisar o centro de massa: os corpos extensos heterogêneos e os corpos extensos homogêneos<ref name=":1"/>.

A aplicação em corpos homogêneos é feita analisando regiões [[Simetria|simétricas]] de [[Polígono regular|polígonos regulares]]<ref>DOLCE, O.; POMPEU, J. N. - Fundamentos da matemática elementar, v.9: geometria plana, 9.ed. São Paulo, atual, 2013. p. 258.</ref> e aplicando definições de figuras geométricas, pois eles são objetos que possuem lados e ângulos iguais, como por exemplo, quadrados e cubos. Segundo essa definição, as análises de corpos heterogêneos só podem ser efetuadas a partir do estudo por [[Cálculo]] ou por meio da divisão geométrica dos corpos deformados, usando a [[geometria]].

=== Centro de massa de um quadrado ===
O centro de massa de um [[quadrado]] é estabelecido por meio do encontro de suas [[Diagonais de um polígono|diagonais]] – [[Reta#Segmento de reta|segmentos de retas]] com extremidades em [[vértice]]s não consecutivos do polígono<ref>Ibidem. p. 133.</ref> – esse encontro no centroide do objeto é feito por duas retas que se intercruzam no [[ponto médio]], revelando uma simetria em relação aos [[ângulo]]s e [[Aresta|lados]] do quadrado.<ref>Ibidem. p. 98, 107.</ref>

Sendo assim, para calcular a localização do centro de massas em um quadrado é necessário saber inicialmente o valor de seus lados, que será dividido por dois para descobrir o ponto médio, ou seja, L/2. Após fazer esse procedimento, os valores encontrados para o centro de massa estarão em coordenadas no [[Sistema de coordenadas cartesiano|plano cartesiano]], em que, a coordenada do eixo x é a base e o do eixo y é a altura.
[[Ficheiro:Centro_de_Massa_de_um_Quadrado.png|centro|365x365px|Centro de massa em um quadrado que é formado pelo ponto de encontro das diagonais.|miniaturadaimagem]]

Tendo em vista que o centro de massa de um [[paralelogramo]] é o ponto de encontro das diagonais que interceptam os vértices da figura geométrica (objeto), o mesmo procedimento é aplicado para todos corpos extensos homogêneos.<ref name=":1">SAMPAIO, J. L; CALÇADA C. S. Universo da Física 1. São Paulo: Atual, 2001. 3v. p. 495</ref><ref>Ibidem. p. 98</ref>

===Circunferência ===
Para analisar o centro de massa de uma [[circunferência]], basta saber o seu próprio centro geométrico, por se tratar de um objeto totalmente esférico e homogêneo. Para tanto, a análise é feita a partir da distância entre o centro e seu contorno, ou seja, seu raio, podendo ser desenhado sob um plano cartesiano, que propiciará uma divisão em coordenadas cartesianas referente ao centro no eixo X e Y e com isso, uma análise sobre a localização geométrica do centro de massa.<ref name=":1" />

===Triângulo ===
Outro exemplo de centro de massa em um corpo extenso homogêneo pode ser aplicado aos pontos de encontro das diagonais em triângulos não regulares. Para fazermos esse procedimento, devemos utilizar o Baricentro – considerado como o centro de massa e de gravidade de um [[triângulo]] homogêneo<ref name=":1" />.Tendo em vista que um triângulo possui três vértices, há também três medianas que se interceptam em um ponto comum que divide cada mediana em duas partes. Sendo assim, a semirreta que sai de um vértice irá ser o dobro da semirreta que não possui vértice, definimos essa característica como sendo o Baricentro de um Triângulo.<ref name=":2">DOLCE, O.; POMPEU, J. N. - Fundamentos da matemática elementar, v.9: geometria plana, 9.ed. São Paulo, atual, 2013. p. 119 – 121.</ref>
[[Ficheiro:Centro_de_Massa_e_Baricentro_de_um_Triângulo.png|centro|341x341px|Achando baricentro de um triângulo.|miniaturadaimagem]]
'''Exemplo''' <ref name=":2" />:

Os segmentos '''AMa''', '''BMb''', e '''CMc''' são [[Mediana (geometria)|medianas]], pois a [[Intersecção diagonal|intersecção]] das três é encontrada em um único ponto, o centro do triângulo, ou seja, o baricentro.

Outro ponto a se considerar é a relação de comprimento entre as medianas, em que, as medidas dos segmentos '''AG, BG''' e '''CG''' são o dobro dos seus respectivos complementos, ou seja, '''AG = 2×GMa; BG = 2×GmB; CG = 2×GMc.'''

Para comprovarmos a afirmação acima, devemos considerar que '''G (baricentro - ponto de encontro entre as 3 diagonais)''' é igual ao um ponto '''X''' igual a outro ponto '''Y''', sendo que esses pontos são referentes a intersecção entre '''BMb''' e '''AMa''', ou seja, '''X = BMb∩CMc''' e '''Y = AMa∩CMc''', tal que '''G = X = Y'''.

Com isso, pode-se verificar que os três pontos são semelhantes, pois a distância entre um lado ao ponto médio, é a mesma que a do outro lado ao seu respectivo ponto médio.

'''Provando''' <ref name=":2" />:

'''∆ABC= AMc''' é equivalente a '''BMc''' e '''AMb''' é equivalente a '''CMb'''. Logo, o segmento '''MbMc''' é paralelo à '''BC''', sendo que '''MbMc''' é igual a metade da distância de '''BC''', pois é o ponto médio de dois lados/segmentos do triângulo.

Ou seja: '''∆ABC = AMc≡BMc''' e '''AMb≡ CMb'''. '''→''' '''MbMc ∕∕BC''' e '''MbMc = BC/2.'''

O mesmo pode ser feito com '''X''', obtendo os seguintes resultados:

'''∆XBC = XD≡BD''' e '''XE≡CE → DE∕∕BC''' e '''DE = BC/2.'''

O segmento '''MbMc''' é paralelo e equivalente a '''DE''', então '''MbMcDE''' é um paralelogramo, pois a diagonal que atravessa '''DX''' é equivalente a diagonal que atravessa '''XMb''', revelando a propriedade do baricentro, que '''BX''' é o dobro de '''Mb'''.

'''→ {DX ≡ XMb → BX = 2×Mb'''

São feitas as mesmas relações com o lado '''EX''', revelando que:

'''→ {EX ≡ XMc → CX = 2×Mc'''

Portanto, para '''Y = AMa∩CMc''' são feitas as mesmas associações, concluindo que os segmentos de reta '''CY AY''' são iguais ao dobro de '''YMc e YMa''' respectivamente.

'''- CY = 2×YMc'''

'''- AY = 2×YMa'''

Então, como '''X = Y''', denominamos esse ponto como sendo '''G (baricentro e centro de massa do objeto)''', que irá voltar nas duas definições iniciais:

'''- AMa ∩ BMb ∩ CMc = G'''

- '''AG = 2×GMa; BG = 2×GMb; CG = 2×GMc.'''

'''Curiosidade''' <ref name=":0">DOLCE, O.; POMPEU, J. N. - Fundamentos da matemática elementar, v.9: geometria plana, 9.ed. São Paulo, atual, 2013. p.121.</ref>:

Outro modo de expressar a última equação, é repartindo o segmento de reta em três pequenas retas iguais, revelando que:

'''- AG = 2/3 × AMa ou GMa = 1/3 × AMa.'''

'''- BG = 2/3 × BMb ou GMb = 1/3 × BMb.'''

'''- CG = 2/3 × CMc ou GMc = 1/3 × CMc.'''

== Baricentro e Centro de Gravidade ==
As características existentes na [[geometria plana]] ajudam a entender aspectos que se conectam com meios físicos. Sendo assim, a aplicação do baricentro é muito importante para demonstrar como o centro de gravidade age em um [[campo gravitacional]] uniforme.

Todos os conhecimentos iniciais que servem de infraestrutura para um estudo mais aprofundado sobre o centro gravitacional foram atribuídos ao matemático e astrônomo grego [[Arquimedes]] (287 a.C. - 212 a.C.). Desta forma, ele define que um [[corpo rígido]] suspenso por pontos em qualquer lugar com gravidade constante, após ser girado em seu eixo (aplicação de forças), deve-se permanecer na mesma posição de início, ou seja, o corpo permanecerá em equilíbrio em relação à Terra.<ref name=":4">ASSIS, A. K. T.; RAVANELLI, M. D. M. Reflexões sobre o conceito de centro de gravidade nos livros didáticos. Ciência & Ensino, vol. 2, n. 2, junho de 2008. p.1.</ref>

Esse fenômeno é explicado por meio do equilíbrio existente entre a [[força peso]] do objeto (produto entre a massa em kg pela gravidade em <math>{m \over s^2}</math> ) e a Terra, já que, todos as forças de atração são equilibradas em um único ponto, denominado baricentro. Sendo assim, como a massa da Terra é maior do que a do objeto, a força resultante proporcionará uma atração equivalente com sentido para o centro terrestre. Por conseguinte, centro de gravidade é o ponto que garantem o equilíbrio de todas as forças atrativas.<ref name=":3" /><ref name=":4" />

{{notas}}

==Referências ==
<references />

==Ver também==
*[[Gravidade]]
*[[Peso]]

{{DEFAULTSORT:Centro Massas}}
[[Categoria:Mecânica clássica]]
[[Categoria:Centros geométricos]]