Mostrar código-fonte de Curva algébrica

Em [[geometria algébrica]], uma '''curva algébrica''' é uma [[variedade algébrica]] de [[dimensão de uma variedade algébrica|dimensão]] um. A teoria destas [[curva]]s em geral foi completamente desenvolvida no século dezenove, após muitos exemplos particulares terem sido considerados, iniciando com [[círculo]]s e outras [[seção cônica|seções cônicas]].

== Curvas algébricas planas ==
Uma curva algébrica definida sobre um corpo ''F'' pode ser considerada o local dos pontos em ''F''<sup>''n''</sup> determinados por ''n''−1 funções polinomiais independentes em ''n'' variáveis com coeficientes em ''F'', ''g''<sub>''i''</sub>(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>), onde a curva é definida por ajustar cada ''g''<sub>''i''</sub>&nbsp;= 0.

Usando a [[resultante]], nós podemos eliminar todas, exceto duas das variáveis, e reduzir a curva à curva plana [[geometria birracional|equivalente birracional]], ''f''(''x'',''y'')&nbsp;= 0, ainda com coeficiente em ''F'', mas usualmente de grau mais alto, e frequentemente possuindo singularidades adicionais. Por exemplo, eliminando ''z'' entre as duas equações ''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>−''z''<sup>2</sup>&nbsp;= 0 e ''x''+2''y''+3''z''−1&nbsp;= 0, as quais definem uma interseção de um cone e um plano em três dimensões, nós obteremos a [[seção cônica]] 8''x''<sup>2</sup>+5''y''<sup>2</sup>−4''xy''+2''x''+4''y''−1&nbsp;= 0, a qual neste caso é uma elipse. Se nós eliminarmos ''z'' entre 4''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>−''z''<sup>2</sup>&nbsp;= 1 e ''z''&nbsp;= ''x''<sup>2</sup>, nós obtemos ''y''<sup>2</sup>&nbsp;= ''x''<sup>4</sup>−4''x''<sup>2</sup>+1, a qual é a equação de uma [[curva hiperelíptica]].

== Curvas projetivas ==
É frequentemente desejável considerar que curvas são o local dos pontos no [[espaço projetivo]]. No conjunto de equações ''g''<sub>''i''</sub>&nbsp;= 0, nos podemos substituir cada ''x''<sub>''k''</sub> com ''x''<sub>''k''</sub>/''x''<sub>0</sub>, e multiplicar por ''x''<sub>0</sub><sup>''n''</sup>, onde ''n'' é o grau de ''g''<sub>''i''</sub>. Por este caminho nós obtemos funções polinomiais [[polinômio homogêneo|homogêneas]], as quais definem a curva correspondente no espaço projetivo. Para uma curva algébrica plana nós temos uma única equação ''f''(''x'',''y'',''z'')&nbsp;= 0, onde ''f'' é homogênea; por exemplo, a [[curva de Fermat]] ''x''<sup>''n''</sup>+''y''<sup>''n''</sub>+''z''<sup>''n''</sup>&nbsp;= 0 é uma curva projetiva.

== Campos de funções algébricas ==
O estudo de funções algébricas pode ser reduzido ao estudo de curvas algébricas [[componente irredutível|irredutíveis]]. Até a equivalência [[geometria birracional|birracional]], existem [[equivalência de categorias|categoricamente equivalente]] a [[corpo de funções algébrica|corpos de funções algébricas]]. Um corpo de funçõs algébricas é um corpo de funções algébricas em uma variável ''K'' definida sobre um corpo dado ''F''. Isto significa existir um elemento ''x'' de ''K'' o qual é transcendental sobre ''F'', e tal que ''K'' é uma extensão algébrica finita de ''F''(''x''), a qual é o corpo de funções racionais na indeterminada ''x'' sobre ''F''.

Por exemplo, considerando o campo '''C''' dos números complexos, sobre os quais nós podemos definir o campo '''C'''(''x'') de funções racionais em '''C'''. Se ''y''<sup>2</sup>&nbsp;= ''x''<sup>3</sup>−''x''−1, então o campo '''C'''(''x'',''y'') é um [[função elíptica|campo de funções elípticas]]. O elemento ''x'' não é unicamente determinado; o campo pode também ser considerado, por exemplo, como uma extensão de '''C'''(''y''). A curva algébrica corresponde à função é simplesmente o conjunto de pontos (''x'',''y'') em '''C'''<sup>2</sup> satisfazendo ''y''<sup>2</sup>&nbsp;= ''x''<sup>3</sup>−''x''−1.

Se o campo ''F'' não é [[Corpo algebricamente fechado|algebricamente fechado]], do ponto de vista de campo de funções é um pouco mais geral do que considerar o lugar dos pontos, desde que nós incluamos, por exemplo, "curvas" com nenhum ponto sobre elas. Se o campo base ''F'' é o campo '''R''' dos números reais, então ''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>&nbsp;= −1 define uma campo de extensão algébrica de '''R'''(''x''), mas a curva correspondente considerada como um lugar tem nenhum ponto em '''R'''. Entretanto, fazemos ter pontos definidos sobre o algebricamente fechado '''C''' de '''R'''.

== Curvas complexas e superfícies reais ==
[[Ficheiro:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|Questões de gênero topológico, as "alças" e os "buracos de rosquinha".]]

Uma curva algébrica complexa projetiva reside em um espaço complexo projetivo n-dimensional '''CP'''<sup>''n''</sup>. Este tem dimensão complexa ''n'', mas dimensão topológica, como uma [[Variedade (matemática)|variedade]], 2''n'', e é [[espaço compacto|compacto]], [[Conexidade|conectado]], e [[orientabilidade|orientável]]. Uma curva algébrica do mesmo modo tem dimensão topológica dois; em outras palavras, é uma superfície. Uma não singular curva algébrica complexa projetiva ''n''-dimensional irá então ser uma superfície suave orientável como uma variedade real, imersa em uma variedade real compacta de dimensões 2''n'' a qual é '''CP'''<sup>''n''</sup> considerada como uma variedade real. O gênero topológico desta superfície, que é o número de "alças" ou "buracos de rosquinhas", é o gênero da curva. Por considerar a estrutura analítica complexa induzida sobre esta superfície compacta nós somos conduzidos à teoria das [[Superfície de Riemann|superfícies de Riemann]] compactas.

== Superfícies de Riemann compactas ==
Uma superfície de Riemann é um retículo analítico complexo conectado de uma dimensão complexa, o qual produz um retículo real conectado de duas dimensões. Ele é [[Espaço compacto|compacto]] se é compacto como um espaço topológico.

Existe uma tripla equivalência entre a categoria de curvas algébricas diferenciáveis projetivas sobre os números complexos, a categoria de [[Superfície de Riemann|superfícies de Riemann]] compactas, e a categoria de corpos de funções algébricas complexas, de modo que ao se estudar estes assuntos estamos em determinado sentido estudando a mesma coisa. Isto permite métodos analíticos complexos serem usados em geometria algébrica, e métodos geométrico-algébricos em análise complexa, e métodos teóricos de corpo serem usados em ambos, o que é característico de uma classe de problemas muito mais amplo do que curvas simples e superfícies de Riemann.

== Singularidades ==
Usando o intrínsico conceito de [[espaço tangente]], pontos ''P'' sobre uma curva algébrica ''C'' são classificados como "diferenciáveis" ou "não-singulares", ou diferentemente ''[[Ponto singular de uma curva|singular]]''. Dadas ''n''−1 funções polinomiais homogêneas em ''n''+1 variáveis, nós odemos encontrar a [[Matriz jacobiana|matriz Jacobiana]] como a matriz (''n''−1)×(''n''+1) de derivadas parciais. Se a [[Característica (álgebra linear)|característica]] desta matriz no ponto ''P'' sobre a curva tem o máximo valor de ''n''−1, então o ponto é um ponto diferenciável. Em particular, se a curva é um curva algébrica projetiva plana, definido por uma única equação polinomial homogênea ''f''(''x'',''y'',''z'')&nbsp;= 0, então os pontos singulares são precisamente os pontos ''P'' onde a característica da matriz 1×(''n''+1) é zero, isto é, onde

:<math>\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial z }(P)=0.</math>

Desde que ''f'' é um polinômio, esta definição é puramente algébrica e não faz qualquer suposição sobre a natureza do corpo ''F'', a qual em particular não necessita ser em números reais ou complexos. Convém recordar que, naturalmente, (0,0,0) não é um ponto da curva e consequentemente não é um ponto singular.

As singularidade de uma curva não são invariantes birracionais. Entretanto, localizar e classificar as singularidades de uma curva é um meio de calcular o [[Gênero geométrico|gênero]], o qual é um invariante birracional. Para isto funcionar, deve-se considerar a curva projetivamente e requer-se que ''F'' seja algebricamente fechada, de modo que todas as singularidades que pertencem à curva sejam consideradas.

=== Classificação das singularidades ===
[[Ficheiro:Cusp.svg|thumb|right|''x''<sup>3</sup>&nbsp;= ''y''<sup>2</sup>]]

Pontos singulares incluem múltiplos pontos onde a curva cruza sobre si mesma, e também vários tipos de "cúspide"* (pontas), por exemplo ests mostradas pela curva com equação ''x''<sup>3</sup>&nbsp;= ''y''<sup>2</sup> em (0,0).

* O termo [[cúspide]] é usual em odontologia, por exemplo, onde significa exatamente ponta, extremidade contundente.

Uma curva ''C'' tem na maioria dos casos um número finito de pontos singulares. Se não tem pelo menos um, ela pode ser chamada ''difereniável'' ou ''não-singular''. Para esta definição ser correta, nós devemos usar um [[corpo algebricamente fechado]] e uma curva ''C'' em [[espaço projetivo]] (''i.e.'', ''completa'' no sentido de geometria algébrica).

Se, por exemplo, nós simplesmente olhamos em uma curva no plano real relacionado pode ser o módulo singular ''P'' a saliência, ou alternativamente como a soma de ''m''(''m''−1)/2, onde ''m'' é a multiplicidade, sobre todos os infinitamente próximos pontos singulares ''Q'' situados sobre o ponto singular ''P''. Intuitivamente, um ponto singular com invariante delta δ concentra δ pontos duplos ordinários em ''P''.

O [[número de Milnor]] μ da singularidade é o grau do gradiente da função ''f''(''x'',''y'')/|grad&nbsp;''f''(''x'',''y'')| sobre a pequena esfera de raio ε, no sentido do [[grau de uma função contínua]] topológico, onde grad&nbsp;''f'' é o corpo vetor gradiente (complexo) de ''f''. Ele é relacionado a δ e ''r'' pela [[fórmula de Milnor-Jung]],

:<math>\mu = 2\delta - r + 1</math>

Outra singularidade invariante digna de nota é a multiplicidade ''m'', definada como o máximo inteiro tal que as derivadas de ''f'' de todas as ordens maiores a ''m'' desaparecem.

Calculando-se os invariantes delta de todas as singularidades permite-se que o gênero ''g'' da curva seja determinado; se ''d'' é o grau, então

:<math>g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,</math><ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=generogeometrico|titulo=Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-24|obra=omonitor.io}}</ref>

onde a soma é tomada sobre todos os pontos singulares ''P'' da curva do plano projetivo complexo.

Singularidades podem ser classificadas pelo trio [''m'', δ, ''r''], onde ''m'' é a multiplicidade, δ é o invariante delta, e ''r'' é o número de ramificação. Nestes termos, um ''cúspide ordinário'' é um ponto com invariantes [2,1,1] e um ''ponto duplo ordinário'' é um ponto com invariantes [2,1,2]. Um ponto n-múltiplo ordinário pode ser definido com aquele tendo invariantes [''n'', ''n''(''n''−1)/2, ''n''].

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== Referências ==
{{Commonscat|Algebraic curves}}

* Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, ''Plane Algebraic Curves'', John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
* [[Claude Chevalley]], ''Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable'', American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'', Springer, 1980
* [[Phillip A. Griffiths]], ''Introduction to Algebraic Curves'', Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
* [[Robin Hartshorne]], ''Algebraic Geometry'', Springer, 1977
* [[Shigeru Iitaka]], ''Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties'', Springer, 1982
* [[John Milnor]], ''Singular Points of Complex Hypersurfaces'', Princeton University Press, 1968
* [[George Salmon]], ''Higher Plane Curves'', Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
* [[Jean-Pierre Serre]], ''Algebraic Groups and Class Fields'', Springer, 1988

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