Mostrar código-fonte de Desvio padrão

{{Estatística sidebar}}
{{Wikipédia audível|Desvio padrão.ogg|9 de março de 2017}}
Em [[probabilidade]], o '''desvio padrão''' ou '''desvio padrão populacional''' (comumente representado pela letra grega <math>\sigma</math>) é uma [[Dispersão estatística|medida de dispersão]] em torno da [[Média|média populacional]] de uma [[variável aleatória]]. O termo possui também uma acepção específica no campo da [[estatística]], na qual também é chamado de '''desvio padrão amostral''' (comumente representado pela letra latina <math>s</math>) e indica uma medida de dispersão dos dados em torno de [[Média e covariância amostrais|média amostral]]. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado.<ref>{{citar periódico|ultimo=Bland|primeiro=J. Martin|ultimo2=Altman|primeiro2=Douglas G.|titulo=Measurement Error|jornal=BMJ|doi=|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2351401/pdf/bmj00548-0038.pdf|acessadoem=23 de janeiro de 2017}}</ref> Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O desvio padrão populacional ou amostral é a [[raiz quadrada]] da [[variância]] populacional ou amostral correspondente, de modo a ser uma medida de dispersão que seja um número não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=25|acessodata=}}</ref><ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques,|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=119|acessodata=}}</ref><ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=121|acessodata=}}</ref>

Tanto em probabilidade quanto em estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos matemáticos importantes como o [[Correlação|coeficiente de correlação]], o [[coeficiente de variação]] ou a [[alocação ótima de Neyman]], dentre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão.<ref>{{citar web|url=http://www.leeds.ac.uk/educol/documents/00003759.htm|titulo=Revisiting a 90–year–old Debate: The Advantages of the Mean Deviation|data=2004|acessodata=23 de janeiro de 2017|publicado=Department of Educational Studies, University of York|ultimo=Gorard|primeiro=Stephen}}</ref> O desvio padrão é mais simples, porém mais robusto que o desvio médio absoluto na prática.<ref>{{citar periódico|ultimo=Gauss|primeiro=Carl Friedrich|ano=1816|titulo=Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen|jornal=Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften|página=187 – 197|doi=|url=|acessadoem=}}</ref><ref>{{citar livro|titulo=Studies in the History of the Statistical Method|ultimo=Walker|primeiro=Helen|editora=Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co|ano=1931|local=|página=24 – 25|acessodata=}}</ref> Além de expressar a variabilidade da população, o desvio padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os resultados de uma experiência repetida várias vezes.<ref>{{citar web|url=http://www.ufjf.br/nupis/files/2012/03/aula-2-Erro-e-tratamento-de-dados-Quimica-Analitica-IV-Curso-Farm%C3%A1cia-2012.1.pdf|titulo=Erro e Tratamento de Dados Analíticos|data=2012|acessodata=2 de fevereiro de 2017|publicado=Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)|ultimo=Matos|primeiro=Maria Auxiliadora Costa}}</ref> Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da [[Amostra (estatística)|amostra]], se a mesma pesquisa for repetida várias vezes.<ref>{{citar web|url=https://www.eecis.udel.edu/~portnoi/classroom/prob_estatistica/2005_2/lecture_slides/Aula16-MargemErro.pdf|titulo=Margem de Erro / Determinação do Tamanho da Amostra|data=|acessodata=2 de fevereiro de 2017|publicado=University of Delaware – Departments of Electrical & Computer Engineering and Computer & Information Sciences|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Esta derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à [[média]]). O erro padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão da média (produto do desvio padrão populacional e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para a média (populacional).<ref name=":8">{{citar web|url=http://www.pucrs.br/famat/viali/graduacao/engenharias/material/apostilas/Apostila_3.pdf|titulo=Amostragem e Estimação|data=|acessodata=2 de fevereiro de 2017|publicado=Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC – RS)|ultimo=Viali|primeiro=Lori}}</ref>

O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, física e pesquisas em geral. Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais. Em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios padrões distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições podem-se distinguir os efeitos prováveis dos efeitos genuínos.<ref>{{citar periódico|ultimo=Danelon|primeiro=Maria Cristina Tavares de Moraes|ultimo2=Sampaio|primeiro2=Nilo Antonio de Souza|titulo=Aplicações da Estatística nas Ciências|jornal=|doi=|url=http://www.aedb.br/wp-content/uploads/2015/05/64.pdf|acessadoem=}}</ref> Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo desvio padrão amostral pode referir-se tanto à quantidade mencionada acima quanto a uma quantidade modificada que seja uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio do desvio padrão amostral.<ref name=":8" />

== História ==
O desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, no contexto do desenvolvimento da estatística no Reino Unido. Enquanto o conceito de ''medida de dispersão'' foi criado por [[Abraham de Moivre]] e usado em seu livro ''The Doctrine of Chances'' em 1718,<ref>{{citar livro|titulo=Against the Gods: The Remarkable Story of Risk|ultimo=Bernstein|primeiro=Peter L.|editora=John Wiley & Sons|ano=1996|local=|páginas=383|página=127|acessodata=}}</ref> o termo ''desvio padrão'' foi pontualmente usado pela primeira vez por [[Karl Pearson]] em 1894,<ref>{{citar periódico|ultimo=Pearson|primeiro=Karl|ano=1894|titulo=On the Dissection of Asymmetrical Frequency Curves|jornal=A Philosophical Transactions of the Royal Society|volume=185|página=71 – 110|doi=|url=|acessadoem=}}</ref><ref name=":0">{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=506|acessodata=}}</ref> em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por [[Carl Friedrich Gauss]].<ref>{{citar web|url=http://jeff560.tripod.com/mathword.html|titulo=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|data=|acessodata=23 de janeiro de 2017|publicado=|ultimo=Miller|primeiro=Jeff}}</ref> O símbolo <math>\sigma</math> também foi utilizado pela primeira vez por [[Karl Pearson]] para representar o desvio padrão.<ref name=":0" />

Em 1908, [[William Gosset]] (mais conhecido sob o pseudônimo ''Student'') definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção entre o desvio padrão amostral e o desvio padrão populacional é importante.<ref name=":0" /> Somente em 1918, [[Ronald Aylmer Fisher]] definiu a noção da variância no texto ''The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance''.<ref>{{citar periódico|ultimo=Fisher|primeiro=Ronald Aylmar|ano=1918|titulo=The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance|jornal=Philosophical Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=52|página=99 – 433|doi=|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fdigital.library.adelaide.edu.au%2Fdspace%2Fbitstream%2F2440%2F15097%2F1%2F9.pdf|acessadoem=23 de janeiro de 2017}}</ref>

== Em probabilidade ==
=== Definição ===
Seja <math>X</math> uma variável aleatória com média <math>\mu</math> e valor esperado <math>E[X]=\mu</math>. Então, o desvio padrão de <math>X</math> pela definição é a raiz quadrada da variância de <math>X</math> ou a raiz quadrada do valor médio de <math>(X-\mu)^2</math><ref name=":9">{{citar livro|titulo=Probabilidade e Estatística – Quantificando a Incerteza|ultimo=Pinheiro|primeiro=João Ismael D.|ultimo2=Carvajal|primeiro2=Santiago S. Ramírez|ultimo3=Cunha|primeiro3=Sonia Baptista da|ultimo4=Gomes|primeiro4=Cunha Gastão Coelho|editora=Elsevier|ano=2012|local=|página=56|acessodata=}}</ref>

<math>\begin{align}
  \sigma & := \sqrt{{\rm Var}[X]} = \sqrt{\operatorname E[(X - \mu)^2]}\\
         & = \sqrt{\operatorname E[X^2] + \operatorname E[-2 \mu X] + \operatorname E[\mu^2]}
         & = \sqrt{\operatorname E[X^2] -2 \mu \operatorname E[X] + \mu^2}\\
         & = \sqrt{\operatorname E[X^2] -2 \mu^2 + \mu^2}
         & = \sqrt{\operatorname E[X^2] - \mu^2}\\
         & = \sqrt{\operatorname E[X^2]-(\operatorname E[X])^2}.
\end{align}</math>

A fórmula foi derivada a partir das propriedades da [[esperança matemática|esperança]].<ref name=":9" />

=== Desvio padrão de uma variável aleatória discreta ===
Quando <math>X</math> é uma variável aleatória de um conjunto de dados finito <math>x_1, x_2, \dots, x_N</math>, com cada valor tendo a mesma probabilidade <math>\frac{1}{N}</math>, o desvio padrão é:

<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math>,

em que <math>\mu</math> é a esperança da variável <math>X</math>, sendo <math>\mu = {\rm E}[X] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i</math>.<ref name=":9" />

Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se <math>x_1</math> tiver probabilidade <math>p_1</math>, se <math>x_2</math> tiver probabilidade <math>p_2</math>, ... , se <math>x_N</math> tiver probabilidade <math>p_N</math>), o desvio padrão é:

<math>\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2} </math>,

em que <math> \mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i</math>.<ref name=":9" />

=== Desvio padrão de uma variável aleatória contínua ===
O desvio padrão de uma variável aleatória contínua <math>X</math> com [[função densidade]] <math>p(x)</math> é:

<math>\sigma = \sqrt{\int_\mathbb{R} (x-\mu)^2 \, p(x) \, {\rm d} x}</math>,

em que <math>\mu = {\rm E}[X] = \int_\mathbb{R} x \, p(x) \, {\rm d} x</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Estatística e Probabilidade – Quantificando a Incerteza|ultimo=Pinheiro|primeiro=João Ismael D.|ultimo2=Carvajal|primeiro2=Santiago S. Ramírez|ultimo3=Cunha|primeiro3=Sonia Baptista da|ultimo4=Gomes|primeiro4=Gastão Coelho|editora=Elsevier|ano=2012|local=|página=87 – 88|acessodata=}}</ref>

No caso de uma [[Parametrização|família paramétrica]] de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da distribuição log–normal com parâmetros <math>\mu</math> e <math>\sigma^2</math>, com <math>\ln X</math> com distribuição normal com parâmetros <math>\mu</math> e <math>\sigma^2</math>, o desvio padrão é <math>\bigl[(\exp(\sigma^2)-1) \exp (2\mu+\sigma^2)\bigr]^\frac{1}{2}</math>.<ref>{{citar web|url=https://www.mathworks.com/help/stats/lognstat.html|titulo=lognstat|acessodata=23/03/2017|publicado=MathWorks|ultimo=|primeiro=|pagina=1}}</ref>

=== Desvio padrão de distribuições de probabilidade conhecidas ===
{| class="wikitable centre"
!Distribuição
!Parâmetros
!Descrição
!Desvio padrão
|-
|[[Distribuição de Bernoulli]]<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=30|acessodata=}}</ref>
|<math>p</math>
|Distribuição discreta de valor 0 com probabilidade <math>1-p</math> e 1 com probabilidade <math>p</math>.
|<math>\sigma=\sqrt{p(1-p)}</math>
|-
|[[Distribuição binomial]]<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=31|acessodata=}}</ref>
|<math>p</math> e <math>n\in\N^*</math>
|Distribuição da soma de <math>n</math> variáveis independentes de acordo com a distribuição de Bernoulli de parâmetro <math>p</math>.
|<math>\sigma=\sqrt{n p (1-p)}</math>
|-
|[[Distribuição geométrica]]<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=38|acessodata=}}</ref>
|<math>p</math>
|Distribuição discreta em <math>\N</math>, tal que a probabilidade de se obter o número inteiro <math>n</math> é <math>(1-p)p^n</math>.
|<math>\sigma=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}</math>
|-
|[[Distribuição uniforme]]<ref name=":1">{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=39|acessodata=}}</ref>
|<math>a<b</math>
|Distribuição uniforme contínua em <math>\R</math>, cuja densidade é um múltiplo da função indicadora de <math>[a,b]</math>.
|<math>\sigma=\frac{b-a}{\sqrt{12}}</math>
|-
|[[Distribuição exponencial]]<ref name=":1" />
|<math>p</math>
|Distribuição uniforme contínua com suporte <math>\R_+</math>, cuja densidade é a função<math>f\colon x \mapsto p \exp(-p x)</math>.
|<math>\sigma=\frac{1}{p}</math>
|-
|[[Distribuição de Poisson]]<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=33|acessodata=}}</ref>
|''<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1">
<mi>λ<!-- λ --></mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \lambda }</annotation>
</semantics>
</math></span>''<math>\lambda</math>
|Distribuição em <math>\N</math>, cuja densidade é a função <math>f\colon x \mapsto \exp(-\lambda)\frac{\lambda^x}{x!}</math>, em que <math>\lambda \in \R_+</math>.
|<math>\sigma=\sqrt{\lambda}</math>
|-
|[[Qui-quadrado|Distribuição qui-quadrado]]<ref>{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=71|acessodata=}}</ref>
|''<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle n}</annotation>
</semantics>
</math> e </span>''<math>n</math>
|Distribuição em <math>\R^+</math>, cuja densidade é a função <math>f\colon x \mapsto \frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}}\,</math> para todo <math>x</math> positivo, em que <math>\Gamma </math> é a função gama.
|<math>\sigma=\sqrt{2n}</math>
|-
|[[Distribuição gama]]<ref>{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=71|acessodata=}}</ref>
|''<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1">
<mi>r</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle n}</annotation>
</semantics>
</math> e </span>''<math>\alpha</math>, <math> r </math> e <math> x </math>
|Distribuição de probabilidade contínua, cuja densidade é a função <math>f(x;{\alpha},r) = \frac{\alpha}{\Gamma(r)}(\alpha x)^{r-1} e^{-\alpha x},</math> para todo <math>x</math> positivo, em que <math>\Gamma </math> é a função gama.
|<math>\sigma=\frac{\sqrt{r}}{\alpha}</math>
|}

O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.<ref>{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=60|acessodata=}}</ref>

=== Propriedades ===
# O desvio padrão é sempre positivo ou nulo.<ref>{{citar web|url=http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/roteiro_incertezas_2015.pdf|titulo=Roteiro de Cálculo de Incertezas Análise de Experimentos Virtuais|data=|acessodata=2 de fevereiro de 2017|publicado=Instituto de Física da Universidade de São Paulo (IF / USP)|ultimo=|primeiro=}}</ref> O desvio padrão de uma constante é nulo.<ref name=":10">{{citar livro|titulo=Estatística Básica – Transformando Dados em informação|ultimo=Becker|primeiro=João Luiz|editora=Bookman|ano=2015|local=|página=65|acessodata=}}</ref>
# O desvio padrão de uma variável aleatória <math> X</math> à qual foi adicionada uma constante <math>Y = X + a </math> é igual ao desvio padrão da variável aleatória <math> X</math>, uma propriedade chamada [[invariante por translação]].<ref name=":10" />
# O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual à constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma propriedade chamada invariante por dilatação, que pode ser resumida como <math>\sigma _{cX+b}=c\sigma _{X}</math>. Propriedades como invariante de dilatação são consequências diretas do teorema de [[Christiaan Huygens|Huygens]] e das propriedades de valor esperado.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=23 – 25|acessodata=}}</ref>
# O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a <math>\sigma_{X + Y}=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2 + 2\sigma_X \sigma_Y \rho(X,Y)}</math>, em que <math>\rho(X,Y)</math> é o coeficiente de correlação entre as duas variáveis <math> X</math> e <math> Y</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=26|acessodata=}}</ref>
# O desvio padrão segue a desigualdade triangular <math>\sigma_{X+Y} \le \sigma_X+\sigma_Y</math>. Existe igualdade se e somente se existe uma relação linear quase certa entre as duas variáveis <math>Y = cX + b </math>. A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade <math> -1 \le \rho(X,Y) \le  1</math>.<ref>{{citar web|url=http://pages.cs.wisc.edu/~sifakis/courses/cs412-s13/lecture_notes/CS412_19_Mar_2013.pdf|titulo=Linear Algebra|data=19/03/2013|acessodata=23/03/2017|publicado=UNIVERSITY OF WISCONSIN-MADISON|ultimo=|primeiro=|pagina=60}}</ref>
# A função <math>\R  \rightarrow  \R^+ : c \rightarrow \sqrt{(|X-c|^2)}</math> admite o ponto mínimo <math> c=E(X)</math>. Portanto, assumindo–se no ponto o valor do desvio padrão da variável aleatória <math> X</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Théorie des Probabilités|ultimo=Rioul|primeiro=Olivier|editora=Éditions Hermes Sciences|ano=2008|local=Paris|páginas=364|página=146|acessodata=}}</ref>

=== Usos ===
Em probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.<ref name=":9" />

==== Variável aleatória centrada reduzida ====
[[Ficheiro:Negative_and_positive_skew_diagrams_(English).svg|ligação=https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Negative_and_positive_skew_diagrams_(English).svg|miniaturadaimagem|Exemplos de distribuições assimétricas.]]
Se <math> X</math> é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível fazê–la corresponder à variável aleatória centrada reduzida<math>Z= \frac{X - \bar X}{\sigma}</math>. Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas <math>Z_1</math>e <math>Z_2</math> são fáceis de comparar, uma vez que <math>E(Z_i)=0</math> e <math>\sigma_{Z_i}=1</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Aleph1 Analyse|ultimo=Gautier|primeiro=C.|ultimo2=Girard|primeiro2=G.|ultimo3=Gerll|primeiro3=D.|ultimo4=Thiercé|primeiro4=C.|ultimo5=Warusfel|primeiro5=A.|editora=Éditions Hachette|ano=1975|local=Paris|páginas=465|página=387|acessodata=}}</ref>

O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas reduzidas,<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=66|acessodata=}}</ref> os [[Obliquidade|coeficientes de assimetria]] e a [[curtose]] de uma densidade de probabilidade <math>E[Z^3]</math> e <math>E[Z^4]</math> são usados para comparar diferentes distribuições.<ref>{{citar livro|titulo=Théorie des Probabilités|ultimo=Rioul|primeiro=Olivier|editora=Éditions Hermes Sciences|ano=2008|local=Paris|páginas=364|página=157|acessodata=}}</ref>

==== Coeficiente de correlação ====
[[Ficheiro:Standard_symmetric_pdfs.png|ligação=https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Standard_symmetric_pdfs.png|miniaturadaimagem|Exemplos de distribuições mais ou menos achatadas.]]
O coeficiente de correlação é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se <math> X</math> e <math> Y</math> são duas variáveis aleatórias, o coeficiente de correlação <math>\rho = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)} {\sigma_X \sigma_Y} </math>, em que <math>\operatorname{cov}(X,Y)= E[(X - E[X])\,(Y-E[Y])] = {E}[XY] - E[X]E[Y]</math>, é a covariância das variáveis aleatórias <math> X</math> e <math> Y</math>. De acordo com a [[Desigualdade de Cauchy-Schwarz|desigualdade de Cauchy–Schwarz]] <math>\operatorname{cov}(X,Y)| \le \sigma_X \sigma_Y</math>, é possível afirmar que <math> \rho</math> assume valores no intervalo <math>[-1,+1]</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Théorie des Probabilités|ultimo=Rioul|primeiro=Olivier|editora=Éditions Hermes Sciences|ano=2008|local=Paris|páginas=364|página=175|acessodata=}}</ref> Se <math>\rho = 0</math>, as duas variáveis aleatórias não são correlacionadas. Se <math>\rho = \pm 1</math>, as duas variáveis aleatórias são [[Independência linear|linearmente dependentes]].<ref>{{citar livro|titulo=Théorie des Probabilités|ultimo=Rioul|primeiro=Olivier|editora=Éditions Hermes Sciences|ano=2008|local=Paris|páginas=364|página=178|acessodata=}}</ref>[[Imagem:Dp-simétrica.gif|thumb|300px|Regiões de probabilidade dos intervalos da desigualdade de Chebyschev em uma distribuição simétrica.]]
[[Imagem:Dp-assimétrica-pos.gif|thumb|300px|Regiões de probabilidade dos intervalos da desigualdade de Chebyschev em uma distribuição assimétrica positiva.]]
[[Imagem:Dp-assimétrica-neg.gif|thumb|300px|Regiões de probabilidade dos intervalos da desigualdade de Chebyschev em uma distribuição assimétrica negativa.]]

==== Desigualdade de Bienaymé–Chebyschev ====
É por meio da [[Desigualdade de Chebyshev|desigualdade de Bienaymé–Chebyschev]] que o desvio padrão aparece como uma medida de dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Chebyschev afirma que <math>P(|X-E(X)| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}</math> e mostra que a probabilidade de <math> X</math> desviar–se de <math> E(X)</math> ao longo de <math> k</math> desvios padrões é menor ou igual a <math>\frac{1}{k^2}</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Les Probabilités|ultimo=Jacquard|primeiro=Albert|editora=Presses Universitaires de France|ano=1976|local=Paris|páginas=125|página=28 – 29|acessodata=}}</ref>

A desigualdade de Chebyschev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrões da média são pelo menos os mesmos que os da tabela a seguir.<ref>{{citar web|url=http://www.pages.drexel.edu/~tpm23/Stat201Spr04/EmpiricalTchebysheff.pdf|titulo=The Standard Deviation and the Distribution of Data Values: The Empirical Rule and Tchebysheff's Theorem|data=|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>
{| class="wikitable"
!Distância da média
!População mínima
|-
|<math>\sqrt{2}\sigma</math>
|50%
|-
|<math>2\sigma</math>
|75%
|-
|<math>3\sigma</math>
|89%
|-
|<math>4\sigma</math>
|94%
|-
|<math>5\sigma</math>
|96%
|-
|<math>6\sigma</math>
|97%
|-
|<math> k\sigma</math>
|<math>1 - \frac{1}{k^2}</math><ref>{{citar livro|titulo=Fundamentals of Probability|ultimo=Ghahramani|primeiro=Saeed|editora=Prentice Hall|ano=2000|local=New Jersey|páginas=438|página=|acessodata=}}</ref>
|}

== Em estatística ==
[[Ficheiro:Fisher's Iris data with standard deviation error bars around means.png|thumb|O desvio padrão é usado para indicar, com barras de erro, a incerteza do posicionamento do centroide de cada grupo da amostra ao longo da direção indicada pela largura das sépalas.]]

Para uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico sem referência à probabilidade. A estatística utiliza o desvio padrão empírico definido por <math>s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=279 – 280|acessodata=}}</ref>

Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os valores está o desvio padrão.<ref>{{citar web|url=http://www.epidemio.ufc.br/files/ConceitosBasicosemEpidemiologiaeBioestatistica.pdf|titulo=Conceitos Básicos em Epidemiologia e Bioestatística|data=|acessodata=3 de fevereiro de 2017|publicado=Faculdade de Medicina da Universidade Federal do Ceará (UFC)|ultimo=Rocha|primeiro=Hermano Alexandre Lima|ultimo2=Carvalho|primeiro2=Eduardo Rebouças}}</ref>

=== Interpretação ===
[[Ficheiro:Comparison_standard_deviations.svg|miniaturadaimagem|400x400px|Exemplo de amostras de duas populações com médias iguais e desvios padrões diferentes. A população representada em vermelho tem média 100 e desvio padrão 10. A população representada em azul tem média 100 e desvio padrão 50.]]
Um grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média. Por exemplo, cada uma das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrões são 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.<ref name=":12">{{citar web|url=http://www.ufjf.br/nupis/files/2011/04/aula-2-Erro-e-tratamento-de-dados-QUI-094-2013.1-Site.pdf|titulo=Erro e Tratamento de Dados Analíticos|data=2013|acessodata=6 de fevereiro de 2017|publicado=Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)|ultimo=Matos|primeiro=Maria Auxiliadora Costa|arquivourl=https://web.archive.org/web/20170207112646/http://www.ufjf.br/nupis/files/2011/04/aula-2-Erro-e-tratamento-de-dados-QUI-094-2013.1-Site.pdf|arquivodata=2017-02-07|urlmorta=yes}}</ref>

O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Um exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representa as idades de uma população de quatro irmãos em anos. A média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Outro exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representa as distâncias percorridas por quatro atletas em metros. A média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.<ref>{{citar livro|titulo=Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists|ultimo=Ross|primeiro=Sheldon|editora=Elsevier|ano=2004|local=|página=24|acessodata=}}</ref>

O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências, a precisão de medições repetidas é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica. Se a média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria testada provavelmente precisa ser revisada.<ref>{{citar web|url=http://macbeth.if.usp.br/~gusev/ApostilaErros.pdf|titulo=Conceitos Básicos da Teoria de Erros|data=|acessodata=20 de março de 2017|publicado=Universidade de São Paulo (USP)|ultimo=Tabacniks|primeiro=Manfredo H.}}</ref>

Enquanto o desvio padrão mede a distância dos valores típicos da média, outras medidas estão disponíveis.<ref name=":9" /> É o exemplo do desvio médio absoluto, que pode ser considerado uma medida mais direta da distância da média em comparação à distância da raiz quadrada média inerente ao desvio padrão.<ref>{{citar web|url=http://www.pucrs.br/famat/viali/graduacao/engenharias/material/apostilas/Apostila_1.pdf|titulo=Descritiva|data=|acessodata=6 de fevereiro de 2017|publicado=Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC – RS)|ultimo=Viali|primeiro=Lorí}}</ref>

==== Interpretação geométrica ====
Seja uma população com três valores, <math>x_1, x_2, x_3</math>. Seja um ponto <math>P = (x_1,x_2, x_3)</math> em <math>\mathbb{R}^3</math>. Consideramos a linha <math>L=\{(r,r,r) : r \in \mathbb R\} </math> que é a diagonal principal, partindo da origem. Se os três valores fossem iguais, então o desvio padrão seria 0 e o ponto <math>P</math> estaria em <math>L</math>. Então, pode–se assumir que o desvio padrão está relacionado à distância entre <math>P</math> e <math>L</math>. Para mover–se ortogonalmente de <math>L</math> para <math>P</math>, é preciso partir do ponto <math>M = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})</math>, cujas coordenadas são as médias dos valores mencionados acima.<ref name=":27">{{citar web|url=http://www.csr.ufmg.br/geoprocessamento/publicacoes/estespacial.pdf|titulo=Estatística Espacial|data=|acessodata=23/03/2017|publicado=Universidade federal de Minas Gerais|ultimo=Diniz|primeiro=Alexandre|pagina=5}}</ref>{{Collapse top|title=Derivação de <math>M = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})</math>}}
<math>M</math> está em<math>L</math>. Portanto<math>M = (l,l,l)</math> com <math>l \in \textbf{R}</math>

A linha <math>L</math> deve ser ortogonal ao vetor de <math>M</math> para <math>P</math>. Portanto:

<math> \begin{align} 
L \cdot (P-M) &= 0 \\ 
(r,r,r) \cdot (x_1 - l, x_2 -l, x_3 -l)&=0 \\ 
r*(x_1 - l+ x_2 -l+ x_3 -l) &=0 \\ 
r*(\sum\limits_i x_i - 3l) &=0 \\
\sum\limits_i x_i - 3l &=0 \\
\frac1{3}\sum\limits_i x_i &=l\\
\overline{x}&=l
\end{align}</math>
{{Collapse bottom}}A distância entre <math>P</math> e <math>M</math> (igual à distância entre <math>P</math> e <math>L</math>) <math>\sqrt{\sum\limits_i (x_i-\overline{x})^2}</math> é igual ao desvio padrão do vetor <math>x_1, x_2, x_3</math> multiplicado pela raiz quadrada do número de dimensões do vetor (3 dimensões, no caso).<ref name=":27" />

==== Regras para dados distribuídos normalmente ====
[[Ficheiro:standard deviation diagram.svg|300px|thumb|Distribuição normal com desvio padrão (azul escuro) em ambos os lados da média. Um desvio padrão da média representa 68,27% do conjunto, dois desvios padrões (azul médio e azul escuro) representam 95,45%, três desvios padrões (azul claro, azul médio e azul escuro) representam 99,73% e quatro desvios padrões representam 99,9994%. Os dois pontos da curva que são o desvio padrão da média também são os pontos de inflexão.]]De acordo com o [[teorema central do limite]], a distribuição da média de muitas variáveis aleatórias distribuídas independentemente e identicamente tende à distribuição normal

com função densidade <math>f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }
</math>, em que <math>\mu
</math> é o valor esperado das variáveis aleatórias, <math>\sigma
</math> é igual aos desvios padrões das distribuições dividido por <math>n^\frac{1}{2}
</math>e <math>n
</math> é o número de variáveis aleatórias. Portanto, o desvio padrão é simplesmente uma variável escalonada que ajusta a amplitude da curva, embora ele apareça também na constante de normalização. Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então a proporção dos valores dos dados dentro do desvio padrão <math>z
</math> da média é definida pela função erro <math>\operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)</math>. Uma proporção que seja menor ou igual a um número <math>x
</math> é dada pela função cumulativa

<math>x = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]</math>.<ref>{{citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/DistributionFunction.html|titulo=Distribution Function|data=|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=MathWorld — A Wolfram Web Resource|ultimo=Weisstein|primeiro=Eric W.}}</ref>

Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então cerca de 68% dos valores dos dados estão dentro de um desvio padrão da média (<math>\mu \pm \sigma</math>, em que <math>\mu </math> é a média aritmética), cerca de 95% estão dentro de dois desvios padrões (<math>\mu \pm 2\sigma</math>) e cerca de 99,7% estão dentro de três desvios padrões (<math>\mu \pm 3\sigma</math>). Isto é conhecido como a regra empírica 68–95–99,7.<ref name=":11">{{citar livro|titulo=Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists|ultimo=Ross|primeiro=Sheldon|editora=Elsevier|ano=2004|local=|página=32 – 33|acessodata=}}</ref>

Para vários valores de <math>z
</math>, as porcentagens dos valores esperados dentro ou fora do intervalo simétrico <math>IC=(-z\sigma, z\sigma)</math> são:
[[Ficheiro:Standard_deviation_by_Confidence_interval.svg|miniaturadaimagem|Porcentagem dentro p versus z]]
[[Ficheiro:Confidence_interval_by_Standard_deviation.svg|miniaturadaimagem|z versus porcentagem dentro p]]
{| class="wikitable" style="font-size: "
! rowspan="2" |Intervalo de confiança
!Proporção dentro
! colspan="2" |Proporção fora
|-
!Porcentagem
!Porcentagem
!Fração
|-
|<math> 0.674490\sigma</math>
|{{val|50}}%
|{{val|50}}%
|<math> \frac{1}{2}</math>
|-
|<math> 0.994458\sigma</math>
|68%
|32%
|<math> \frac{1}{3.125}</math>
|-
|<math> 1\sigma</math>
|68.2689492%
|31.7310508%
|<math> \frac{1}{3.1514872}</math>
|-
|<math> 1.281552\sigma</math>
|80%
|20%
|<math> \frac{1}{5}</math>
|-
|<math> 1.644854\sigma</math>
|90%
|10%
|<math> \frac{1}{10}</math>
|-
|<math> 1.959964\sigma</math>
|95%
|5%
|<math> \frac{1}{20}</math>
|-
|<math> 2\sigma</math>
|95.4499736%
|4.5500264%
|<math> \frac{1}{21.977895}</math>
|-
|<math> 2.575829\sigma</math>
|99%
|1%
|<math> \frac{1}{100}</math>
|-
|<math> 3\sigma</math>
|99.7300204%
|0.2699796%
|<math> \frac{1}{370.398}</math>
|-
|<math> 3.290527\sigma</math>
|99.9%
|0.1%
|<math> \frac{1}{1000}</math>
|-
|<math> 3.890592\sigma</math>
|99.99%
|0.01%
|<math> \frac{1}{10000}</math>
|-
|<math> 4\sigma</math>
|99.993666%
|0.006334%
|<math> \frac{1}{15787}</math>
|-
|<math> 4.417173\sigma</math>
|99.999%
|0.001%
|<math> \frac{1}{100000}</math>
|-
|<math> 4.5\sigma</math>
|99.9993204653751%
|0.0006795346249%
|<math> \frac{3.4}{1000000}\text{(em cada lado da média)}</math> 
|-
|<math> 4.891638\sigma</math>
|{{val|99.9999}}%
|{{val|0.0001}}%
|<math> \frac{1}{1000000}</math>
|-
|<math> 5\sigma</math>
|99.9999426697%
|0.0000573303%
|<math> \frac{1}{1744278}</math>
|-
|<math> 5.326724\sigma</math>
|99.99999%
|0.00001%
|<math> \frac{1}{10000000}</math>
|-
|<math> 5.730729\sigma</math>
|99.999999%
|0.000001%
|<math> \frac{1}{100000000}</math>
|-
|<math> 6\sigma</math>
|99.9999998027%
|0.0000001973%
|<math> \frac{1}{506797346}</math>
|-
|<math> 6.109410\sigma</math>
|99.9999999%
|0.0000001%
|<math> \frac{1}{1000000000}</math>
|-
|<math> 6.466951\sigma</math>
|99.99999999%
|0.00000001%
|<math> \frac{1}{10000000000}</math>
|-
|<math> 6.806502\sigma</math>
|99.999999999%
|0.000000001%
|<math> \frac{1}{100000000000}</math>
|-
|<math> 7\sigma</math>
|99.9999999997440%
|0.000000000256%
|<math> \frac{1}{390682215445}</math>
|}
Em resumo, de acordo com a regra 68–95–99,7, para uma [[distribuição normal]] unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio (mesocúrtica):<ref name=":11" />
* 68% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.<ref name=":16">{{citar web|url=http://www.fis.ita.br/labfis24/erros/errostextos/erros4.htm|titulo=Erros|data=|acessodata=20 de março de 2017|publicado=Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)|ultimo=|primeiro=}}</ref>
* 95% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.<ref name=":16" />
* 99,7% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.<ref name=":16" />

=== Exemplos ===
[[Ficheiro:variance visualisation.svg|thumb|Visualização geométrica da variância de uma distribuição.<p><u>Imagem 1:</u> É construída a frequência da distribuição.</p><u>Imagem 2:</u> O centroide da distribuição fornece a média.

<u>Imagem 3:</u> Um quadrado com lados iguais à diferença de cada valor da média é formado para cada valor.

<u>Imagem 4:</u> A organização dos quadrados em um retângulo com um lado igual ao número <math>n</math> de valores resulta em outro lado igual à variância da distribuição <math>\sigma^2</math>.
]]
==== Desvio padrão populacional ====
Para um conjunto de dados finito, o desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado.<ref name=":17">{{citar periódico|ultimo=Martins|primeiro=Maria Eugénia Graça|titulo=Desvio Padrão Amostral|jornal=Revista de Ciência Elementar|volume=1|numero=1|doi=|url=https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/vol_1_num_1_18_art_desvioPadraoAmostral.pdf|acessadoem=6 de fevereiro de 2017}}</ref>

Sejam as notas de 8 estudantes (<math>n = 8</math>) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. A média das notas dos 8 estudantes é: <math>\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=5</math>.

Os desvios entre as notas e a média das notas elevados ao quadrado são:<math>\begin{array}{lll}
    (2-5)^2 = (-3)^2 = 9  &&  (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\
    (4-5)^2 = (-1)^2 = 1  &&  (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\
    (4-5)^2 = (-1)^2 = 1  &&  (7-5)^2 = 2^2 = 4 \\
    (4-5)^2 = (-1)^2 = 1  &&  (9-5)^2 = 4^2 = 16. \\
    \end{array}</math>

A variância ou a média de todos os valores é: <math>\frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8}=4</math> . O desvio padrão ou a raiz quadrada da variância é <math>\sqrt{ 4 } = 2</math>. Isto é, o desvio padrão é igual a 2.<ref name=":17" />

==== Desvio padrão amostral ====
O cálculo da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevados ao quadrado é válido apenas se os valores formarem a população total. Se os valores forem parte de uma amostra aleatória extraída de uma população maior (por exemplo, 8 notas extraídas de uma sala de aula de 2 milhões de estudantes), então o denominador da fórmula da variância seria <math>n - 1</math> (7) em vez de <math>n </math> (8) e o resultado seria chamado desvio padrão amostral.<ref name=":18">{{citar livro|titulo=Princípios de Bioestatística|ultimo=Glantz|primeiro=Stanton A.|editora=AMGH|ano=2014|local=|página=16|acessodata=}}</ref>

A divisão da soma dos desvios entre as notas e a média das notas por <math>n - 1</math> em vez de <math>n </math> fornece uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional maior, o que é conhecido como correção de Bessel.<ref name=":19">{{citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/BesselsCorrection.html|titulo=Bessel's Correction|data=|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=MathWorld — A Wolfram Web Resource|ultimo=Weisstein|primeiro=Eric W.}}</ref>

Seja a altura média de um homem adulto nos Estados Unidos 1,78 metro ou 178 centímetros, com desvio padrão de 7 centímetros. Então, a maioria dos homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 68%) tem entre 7 centímetros acima e 7 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 171 centímetros e 185 centímetros, correspondente a um desvio padrão) e praticamente todos os homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 95%) tem entre 14 centímetros acima e 14 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 164 centímetros e 192 centímetros, correspondente a dois desvios padrões). Se o desvio padrão fosse 0 centímetro, então todos os homens adultos dos Estados Unidos teriam 178 centímetros. Se o desvio padrão fosse 50 centímetros, então os homens adultos dos Estados Unidos teriam uma variação muito maior de altura (entre 121 centímetros e 221 centímetros). Três desvios padrões representam 99,7% da amostra da população estudada, assumindo que é uma distribuição normal (em forma de sino).<ref name=":18" /><ref name=":19" />

=== Estimadores ===
Um estimador é uma função que aproxima–se de um parâmetro de uma população por meio de uma amostra aleatória.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=289|acessodata=}}</ref> Dois estimadores do desvio padrão são geralmente utilizados. Os estimadores <math>S_n</math> ou <math>S</math> e <math>{S_{n-1}}</math> ou <math>S'</math> são expressos em função dos valores da amostra por

<math>S_n=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}</math> e <math>S_{n-1}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2} = \sqrt{\frac{n}{n-1}}\cdot S_n</math>.

<math>{S_{n-1}}</math> é o estimador não enviesado.<ref>{{citar livro|titulo=Data Mining et Statistique Décisionnelle|ultimo=Tufféry|primeiro=Stéphane|editora=Éditions Technip|ano=2010|local=Paris|páginas=705|página=655|acessodata=}}</ref><ref name=":2">{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=279 – 280|acessodata=}}</ref>

Na verdade, uma boa estimativa do desvio padrão real seria <math>\sigma_X =\sqrt{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} </math>, em que <math>\mu</math> é a média da distribuição de <math>x_i</math>. Muitas vezes a média <math>\mu</math> não é conhecida e precisa ser calculada a partir da amostra pela fórmula <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>. Então, a estimativa do desvio padrão é calculado pela fórmula

<math>s_{n-1}=\sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} 
</math>.<ref name=":20">{{citar web|url=http://www.fisica.ufjf.br/disciplinas/labfis4/erros.pdf|titulo=Teoria de Medidas – Erros e Gráficos|data=março de 2004|acessodata=20 de março de 2017|publicado=Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)|ultimo=Lima|primeiro=Carlos R. A.}}</ref>

O denominador é <math>n-1
</math> em vez de <math>n
</math> (correção de Bessel) porque o cálculo da média de <math>x
</math> a partir da amostra perdeu um grau de liberdade, uma vez que a fórmula <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math> liga <math>\bar{x}</math> aos valores <math> x_i</math>. Portanto, há apenas <math>n-1
</math> valores independentes após o cálculo de <math>\bar{x}</math>.<ref name=":20" />

=== Propriedades dos estimadores ===
Duas propriedades importantes dos estimadores são a convergência e a falta de viés.<ref name=":2" /> Se <math>\hat \theta</math> é um estimador do parâmetro <math>\theta</math>, o viés será a quantidade <math>E[\hat \theta] - \theta</math>. Se o valor for diferente de zero, significa que <math>\hat \theta</math> está posicionado em torno de <math>E[\hat \theta]</math> em vez de <math>\theta</math>. O estimador <math>\hat \theta</math> é contaminado pelo erro. Um bom estimador não tem viés.<ref name=":3">{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=290|acessodata=}}</ref> O estimador <math> S_{n-1}</math> do desvio padrão é enviesado, mas o viés é aceitável.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=284|acessodata=}}</ref><ref>{{citar periódico|ultimo=Grenier|primeiro=Emmanuel|titulo=Quelle Est la Bonne Formule de L’écart–Type?|jornal=|doi=|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.modulad.fr%2Farchives%2Fnumero-37%2FNotule-Grenier-37%2FNotule-Grenier-37.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref>

Se <math>\lim\limits_{n \to \infty} (a_n)=a</math>, então <math>(a_n)</math> converge (em distribuição, em média, em probabilidade, quase certamente) para <math>a</math> à medida que <math>n</math> aproxima-se do infinito. Entretanto, se <math>S_n^2</math> e <math>S_{n-1}^2</math> são estimadores convergentes de <math>\sigma^2</math>, reflete–se a aproximação de <math>\sigma^2</math> para as duas séries quando <math>n
</math> torna–se cada vez maior.<ref name=":3" /> Com o teorema da continuidade afirmando que se <math>f</math> é contínua <math>\lim\limits_{n \to \infty} f(X_n)=f(\lim\limits_{n \to \infty} X_n)</math> (limite em probabilidade), a função raiz quadrada é contínua, os estimadores <math>{S_n}</math> e <math>{S_{n-1}}</math> são convergentes também. O teorema da continuidade afirma que se <math>f</math> é ume função contínua, então <math> X_n\xrightarrow{\mathbb{P}}X \Longrightarrow f(X_n)\xrightarrow{\mathbb{P}}f(X)</math>, em que <math> \xrightarrow{\mathbb{P}}</math> denota convergência em probabilidade. Como a função raiz quadrada é uma função contínua, <math>{S_n}</math> e <math>{S_{n-1}}</math> são estimadores convergentes do desvio padrão. Isto é, <math>S_{n-1} \xrightarrow{\mathbb{P}} \sigma </math> e <math>S_{n} \xrightarrow{\mathbb{P}} \sigma </math>.<ref>{{citar livro|titulo=Théorie des Probabilités|ultimo=Rioul|primeiro=Olivier|editora=Éditions Hermes Sciences|ano=2008|local=Paris|páginas=364|página=253|acessodata=}}</ref>

=== Desvio padrão da média ===
A média e o desvio padrão de um conjunto de dados são [[Estatística descritiva|estatísticas descritivas]] geralmente reportadas em conjunto. De uma certa maneira, o desvio padrão é uma medida natural de dispersão estatística se o centro dos dados for medido em relação à média. Isto porque o desvio padrão a partir da média é menor que o desvio padrão a partir de qualquer outro ponto. Sendo <math>x_1, \dots, x_n</math> números reais, define–se a função <math>\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - r)^2}.</math> Usando [[cálculo]] ou [[Completamento de quadrados|completamento de quadrado]], é possível mostrar que <math>\sigma(r)</math> tem um mínimo único na média <math>r = \overline{x}.\,</math><ref>{{citar web|url=http://www.fis.ita.br/labfis24/erros/errostextos/erros4.htm|titulo=Desvio Padrão da Média|data=|acessodata=6 de fevereiro de 2016|publicado=Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

A variabilidade também pode ser medida pelo coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio padrão e a média. É um [[número adimensional]].<ref>{{citar livro|titulo=Estatística e Probabilidade – Quantificando a Incerteza|ultimo=Pinheiro|primeiro=João Ismael D.|ultimo2=Carvajal|primeiro2=Santiago S. Ramírez|ultimo3=Cunha|primeiro3=Sonia Baptista da|ultimo4=Gomes|primeiro4=Gastão Coelho|editora=Elsevier|ano=2012|local=|página=57|acessodata=}}</ref>

Geralmente quer-se mais informações sobre a precisão da média obtida. Podemos obtê-la determinando o desvio padrão da média amostral. Assumindo a independência estatística dos valores na amostra, o desvio padrão da média está relacionado ao desvio padrão da distribuição por <math>\sigma_{\text{média}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>, em que <math>n</math> é o número de observações na amostra usado para estimar a média.<ref>{{citar web|url=https://www.ime.usp.br/~chang/home/mae116/aulas/Aula%209%20-%20Aula%20de%20Estima%E7%E3oII.pdf|titulo=Estimação para Média|data=|acessodata=6 de fevereiro de 2016|publicado=Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME / USP)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Isto pode ser provado com <math>
\begin{align}
\operatorname{var}(\text{média})
 &= \operatorname{var}\left (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right)
   = \frac{1}{n^2}\operatorname{var}\left (\sum_{i=1}^n X_i \right ) \\
 &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{var}(X_i)
   = \frac{n}{n^2} \operatorname{var}(X)
   = \frac{1}{n} \operatorname{var} (X).
\end{align}
</math> Isto resulta em <math>\sigma_\text{média} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.</math><ref>{{citar web|url=http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/guias/roteiro_incertezas_2015.pdf|titulo=Roteiro de Cálculo de Incertezas – Análise de Experimentos Virtuais|data=|acessodata=20 de março de 2017|publicado=Universidade de São Paulo (USP)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

É importante ressaltar que para estimar o desvio padrão da média <math>\sigma_\text{média}</math> é necessário saber o desvio padrão de toda a população <math>\sigma</math> de antemão. Entretanto, este parâmetro é desconhecido na maioria das aplicações. Por exemplo, se uma série de 10 medições de uma quantidade previamente desconhecida é realizada em um laboratório, é possível calcular a média da amostra resultante e o desvio padrão amostral, mas é impossível calcular o desvio padrão da média.<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/pdf/jvb/v10n4/v10n4a01.pdf|titulo=Tamanho da amostra em estudos clínicos e experimentais|data=|acessodata=23/03/2017|publicado=Scientific Electronic Library Online|ultimo=Miot|primeiro=Hélio Amante|paginas=275 - 276}}</ref>

Para estimar a exatidão da estimativa da média de uma variável, o método do cálculo do desvio padrão da distribuição da amostragem das médias é utilizado. Também chamado erro padrão da média e denotado como <math>\sigma_{\bar x} </math>, é o desvio padrão das médias das amostras de tamanho idêntico de uma população. Se <math>n</math> é o tamanho das amostras tomadas a partir do desvio padrão de uma população <math>\sigma</math> e se <math>N</math> é o tamanho da população, então <math>\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}</math>.<ref name=":4">{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=508 – 509|acessodata=}}</ref>

Quando o desvio padrão <math>\sigma</math> da população é desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador <math>S_{n-1}</math>.<ref name=":4" /> Quando <math>n</math> é suficientemente grande (<math> n \ge 30</math>), a distribuição da amostra provavelmente segue a lei de Laplace–Gauss, que permite deduzir um intervalo de confiança em função de <math>\sigma_{\bar x} </math> para localizar a média da população a partir da média da amostra.<ref>{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=472|acessodata=}}</ref><ref>{{citar livro|titulo=La Statistique|ultimo=Vessereau|primeiro=André|editora=Presses Universitaires de France|ano=1976|local=Paris|páginas=128|página=56|acessodata=}}</ref>

Há casos em que é possível encontrar o desvio padrão <math>\sigma </math> de uma população inteira com o Teste Z, em que cada membro da população é amostrado. Em casos em que não é possível encontrar o desvio padrão <math>\sigma </math>, ele é estimado analisando uma amostra padrão extraída da população e calculando uma estatística da amostra, que é usada como uma estimativa do desvio padrão populacional.

Entretanto, ao contrário da estimativa da média da população, para a qual a média amostral é um estimador simples com muitas propriedades desejáveis (não enviesado, eficiente, máxima verossimilhança), não há um único estimador para o desvio padrão com todas estas propriedades, além de que um estimador não enviesado do desvio padrão é um problema técnico. Frequentemente o desvio padrão é estimado usando o desvio padrão corrigido da amostra <math>(n-1) </math> e geralmente é referido como o desvio padrão amostral, sem qualificadores. Porém, outros estimadores são melhores em outros aspectos − o estimador com a correção (<math>n </math>) produz um erro quadrático médio mais baixo, enquanto o uso de correção <math>(n-1,\!5) </math> para distribuição normal elimina quase completamente o viés.<ref name=":24">{{citar web|url=https://web.eecs.umich.edu/~fessler/papers/files/tr/stderr.pdf|titulo=Standard Errors of Mean, Variance, and Standard Deviation Estimators|data=24/06/2003|acessodata=23/03/2017|publicado=The University of Michigan|ultimo=Ahn|primeiro=Sangtae|ultimo2=Fessler|primeiro2=Jeffrey A|pagina=1}}</ref>

==== Desvio padrão não corrigido da amostra ====
Primeiramente, a fórmula para o desvio padrão populacional de uma população finita pode ser aplicada à amostra usando o tamanho da amostra como o tamanho da população (embora o tamanho verdadeiro da população da qual a amostra é extraída possa ser muito maior). O estimador denotado como <math>s_n </math> é conhecido como desvio padrão não corrigido da amostra ou às vezes como desvio padrão amostral (considerado com a população inteira) e é definido como <math>
s_n = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2},
</math> em que <math>\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\}</math> são os valores observados dos itens da amostra, <math>\overline{x}</math> é o valor da amostra das observações, <math>n</math> é o tamanho da amostra (raiz quadrada da variância da amostra, que é a média dos desvios quadráticos da média da amostra).<ref name=":25">{{citar web|url=http://home.uevora.pt/~cpires/diagnost/Dispersao2.pdf|titulo=Medidas de dispersão e assimetria|acessodata=23/03/2017|publicado=Universidade de Évora|ultimo=Pires|primeiro=Cesaltina|pagina=5}}</ref>

<math>S_n</math> é um estimador consistente (converge em probabilidade para os valores da população à medida que o número de amostras tende ao infinito) e é a estimativa por máxima verossimilhança quando a população é normalmente distribuída. Entretanto, <math>S_n</math> é um estimador enviesado na medida em que as estimativas são geradas muito lentamente. O viés diminui conforme o tamanho da amostra aumenta, caindo para <math>\frac{1}{n}</math> e, portanto, é mais significativo para tamanhos pequenos ou moderados de amostras. Para <math>n > 75</math>, o viés é menor que 1%. Então, para tamanhos muito grandes de amostras, o desvio padrão não corrigido da amostra é geralmente aceitável. O estimador também tem erro quadrático médio uniformemente menor que o desvio padrão corrigido da amostra.<ref name=":25" />

==== Desvio padrão corrigido da amostra ====
Se a variância enviesada da amostra (o segundo momento central da amostra, que é uma estimativa tendenciosa da variância populacional) é usada para calcular uma estimativa do desvio padrão populacional, retirando a raiz quadrada, introduzem-se mais vieses tendenciosos pela desigualdade de Jensen devido à raiz quadrada ser uma função côncava. O viés na variância é facilmente corrigido, mas o viés da raiz quadrada é mais difícil de ser corrigido e depende da distribuição em questão.

Um estimador não enviesado da variância é dado pela aplicação da correção de Bessel, usando <math>n-1</math>&nbsp;em vez de <math>n</math> para gerar a estimativa da variância não enviesada da amostra denotada como <math>s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2.</math><ref name=":23">{{citar web|url=http://www.scielo.mec.pt/pdf/am/v20n1-2/v20n1-2a08.pdf|titulo=Desvio Padrão ou Erro Padrão|acessodata=23/03/2017|publicado=Scientific Electronic Library Online|ultimo=Lunet|primeiro=Nuno|ultimo2=Severo|primeiro2=Milton|ano=2006|pagina=55|ultimo3=Barros|primeiro3=Henrique}}</ref> Retirando a raiz quadrada, reintroduz-se o viés porque a raiz quadrada é uma função não linear, que não é [[Comutatividade|comutativa]] com a expectativa. Isto gera o desvio padrão corrigido da amostra denotado como <u><math>s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}.</math></u><ref name=":23" />

Enquanto <math>s^2</math> é uma estimativa não enviesada da variância populacional, <math>s</math> é uma estimativa enviesada do desvio padrão populacional. Embora notadamente menos enviesado que o desvio padrão não corrigido da amostra. O viés continua sendo significativo para pequenas amostras (<math>n < 10</math>) e também cai para <math>\frac{1}{n}</math> à medida que o tamanho da amostra aumenta. Este estimador é comumente usado e geralmente conhecido simplesmente como desvio padrão amostral.<ref name=":23" />

==== Desvio padrão não enviesado da amostra ====
Para estimativas não enviesadas do desvio padrão, não há fórmula que aplique-se a todas as distribuições, ao contrário da média e da variância. <math>s</math> é usado como uma base e é escalado por um fator de correção para produzir uma estimativa não enviesada. Para a distribuição normal, um estimador não enviesado é dado por <math>\frac{s}{c_4}</math>, em que o fator de correção que depende de <math>n</math> é dado em termos da [[função gama]]:

<u><math>c_4(n)\,=\,\sqrt{\frac{2}{n-1}}\,\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}.</math></u><ref name=":24" />

Isto ocorre porque a distribuição amostral do desvio padrão amostral segue uma distribuição qui e o fator de correção é a média da distribuição qui. Uma aproximação pode ser dada pela substituição de <math>n-1</math> por <math>n-1,\! 5</math>, tal que <u><math>
    \hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{n - 1,\!5} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 }.
  </math></u><ref name=":24" />

O erro na aproximação cai quadraticamente para <math>\frac{1}{n^2}</math>, e é adequado para todas as amostras, com exceção daquelas menores ou de menor precisão. Para <math>n = 3</math>, o viés é igual a 1,3% e para <math>n = 9</math> o viés é menor que 0,1%. Para outras distribuições, a fórmula correta depende da distribuição, mas uma regra de ouro é usar o refinamento da aproximação:

<u><math>
    \hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{n - 1,\!5 - \tfrac14 \gamma_2} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 },
  </math></u>

em que <math>\gamma_2</math> denota o excesso de curtose da população, que pode ser tanto conhecido antecipadamente para certas distribuições quanto estimado a partir dos dados.<ref name=":24" />

==== Intervalo de confiança para o desvio padrão amostral ====
O desvio padrão obtido a partir da distribuição amostral não é absolutamente preciso, tanto por razões matemáticas (aqui explicadas pelo intervalo de confiança) quanto por razões práticas de medição (erro de medição). O efeito matemático pode ser descrito pelo intervalo de confiança.<ref>{{citar livro|título=Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências|ultimo=Devore|primeiro=Jay L.|editora=Cengage Learning|ano=2005|local=|página=250 – 251|total-páginas=692|acessodata=}}</ref> Para mostrar como uma amostra maior tornará o intervalo de confiança menor, consideram-se os seguintes exemplos.

Uma pequena população de tamanho <math>n</math> = 3 tem apenas um grau de liberdade para estimar o desvio padrão. O resultado é que um intervalo de confiança de 95% tem desvio padrão entre 0,45 e 31,90. Os fatores são <math> {\Pr}\Bigg\{q_\frac{\alpha}{2} < \frac{ks^2}{\sigma^2} < q_\frac{1-\alpha}{2}\Bigg\} = 1-\alpha,</math> em que <math>q_p</math>é o <math>p</math>−ésimo quantil da distribuição qui−quadrado com <math>k</math> graus de liberdade e <math>1-\alpha</math> é o nível de confiança. Isto é equivalente a <math> {\Pr}\Bigg\{\frac{ks^2}{q_\frac{1-\alpha}{2}}< \sigma^2<\frac{ks^2}{q_\frac{\alpha}{2}}\Bigg\} = 1-\alpha.</math><ref name=":26">{{citar livro|título=Estatística e Probabilidade para Engenharia e Ciências|ultimo=Devore|primeiro=Jay L.|editora=Cengage Learning|ano=2005|local=|página=269 – 271|total-páginas=692|acessodata=}}</ref>

Com <math>k=1</math>, <math>q_{0.025}=0,000982</math> e <math>q_{0.975}=5,024 </math> . As recíprocas da raiz quadrada destes dois números fornecem os fatores 0,45 e 31,90 mencionados acima.

Uma população maior de tamanho <math>n=10</math> tem 9 graus de liberdade para estimar o desvio padrão. Os mesmos cálculos acima fornecem um intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,88 e 1,16. Para ter mais certeza de que o desvio padrão amostral será próximo do desvio padrão real, é preciso amostrar um grande número de pontos. As mesmas fórmulas podem ser usadas para obter os intervalos de confiança da variância de resíduos a partir do método dos mínimos quadrados, que se encaixa na teoria normal padrão, em que <math>k</math> é o número de graus de liberdade do erro.<ref name=":26" />

=== Desvio padrão de desvio padrão empírico ===
Em geral, é muito difícil calcular a distribuição de probabilidade de desvio padrão empírico. Porém se <math> X_n</math>é uma sequência de variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a distribuição normal <math>N(\mu,\sigma^2) </math>, então <math>n\frac{S_n^2}{\sigma^2}</math> segue uma distribuição de <math>\chi^2</math> a <math>n</math> graus de liberdade.<ref name=":5">{{citar livro|titulo=The Concise Encyclopaedia of Statistics|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|editora=Springer|ano=2010|local=New York|páginas=622|página=71|acessodata=}}</ref> Esta lei é o desvio padrão <math>\sqrt{2n}</math>. Portanto, o desvio padrão da distribuição das variações das variáveis normais é expresso por <math>\sigma_{S_n^2}=\sigma^2\sqrt{\frac{2}{n}}</math>.<ref name=":5" />

=== Interpretação de um desvio padrão elevado ===
O conceito de desvio padrão elevado não tem sentido isoladamente. Ele não indica uma dispersão forte que se torna o valor adimensional quando dividido pela média.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=121|acessodata=}}</ref> Um desvio padrão elevado possivelmente pode indicar a existência de um ''outlier''. Um critério consiste em rejeitar os valores que diferem da média em mais de três vezes o desvio padrão, o qual está sob a distribuição normal de uma probabilidade de exceder de <math>\frac{3}{1000}</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Statistics – Encyclopaedia Britannica Ultimate Reference Suite|ultimo=Anderson|primeiro=David R.|ultimo2=Sweeney|primeiro2=Dennis J.|ultimo3=Williams|primeiro3=Thomas A.|editora=|ano=2010|local=|página=|acessodata=}}</ref>

=== Pesquisas de opinião ===
Em pesquisas de opinião, o desvio padrão <math> \sigma_{\bar x}</math>avalia a incerteza das variações acidentais de <math>\bar x</math> inerentes à pesquisa, chamada de margem de erro devido às variações acidentais.<ref name=":6">{{citar periódico|ultimo=Deming|primeiro=W.E.|titulo=Quelques Méthodes de Sondage|jornal=Revue de Statistique Appliquée|volume=12|numero=04|doi=|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Farchive.numdam.org%2FARCHIVE%2FRSA%2FRSA_1964__12_4%2FRSA_1964__12_4_11_0%2FRSA_1964__12_4_11_0.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref>

Com o método da amostragem representativa, quando os diferentes estratos têm desvios padrões muito diferentes, o desvio padrão é utilizado para calcular a repartição ótima de Neyman, que permite medir a população nos diferentes estratos em função do desvio padrão. Em outros termos, <math>n_i=n\frac{N_i\sigma_i}{\sum N_j\sigma_j}</math> é o tamanho da amostragem do estrato, <math>n</math> é o tamanho total do estrato, <math>N_i</math> é o tamanho do estrato <math>i</math> e <math> \sigma_i</math> é o desvio padrão do estrato <math>i</math>.<ref name=":6" />

== Em algoritmo ==
O cálculo do desvio padrão para um programa de computador pode resultar em dados inconsistentes quando não se utiliza um algoritmo adequado, como quando se utiliza o algoritmo que opera diretamente a fórmula de grandes amostras de valores entre 0 e 1.<ref>{{citar web|url=https://www.johndcook.com/blog/2008/09/28/theoretical-explanation-for-numerical-results/|titulo=Theoretical Explanation for Numerical Results|data=28 de setembro de 2008|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=John D. Cook|ultimo=Cook|primeiro=John D.}}</ref><ref>{{citar web|url=https://www.johndcook.com/blog/2008/09/26/comparing-three-methods-of-computing-standard-deviation/|titulo=Comparing Three Methods of Computing Standard Deviation|data=26 de setembro de 2008|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=John D. Cook|ultimo=Cook|primeiro=John D.}}</ref>

Um dos melhores algoritmos é chamado B.P. Welford, descrito por [[Donald Knuth]] em seu livro ''The Art of Computer Programming Vol.'' 2.<ref name=":7">{{citar periódico|ultimo=Welford|primeiro=B. P.|titulo=Note on a Method for Calculating Corrected Sums of Squares and Produc|jornal=Technometrics|volume=04|numero=03|doi=|url=http://zach.in.tu-clausthal.de/teaching/info_literatur/Welford.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017|arquivourl=https://web.archive.org/web/20170202061010/http://zach.in.tu-clausthal.de/teaching/info_literatur/Welford.pdf|arquivodata=2017-02-02|urlmorta=yes}}</ref><ref>{{citar web|url=https://www.johndcook.com/blog/standard_deviation/|titulo=Accurately Computing Running Variance|data=|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=John D. Cook|ultimo=Cook|primeiro=John D.}}</ref> Uma aproximação do desvio padrão da direção do vento é dada pelo algoritmo de Yamartino, que é usado em anemômetros modernos.<ref>{{citar periódico|ultimo=Yamartino|primeiro=R. J.|ano=1884|titulo=A Comparison of Several Single–Pass Estimators of the Standard Deviation of Wind Direction|jornal=Journal of Climate and Applied Meteorology|volume=23|página=1362 – 1366|doi=|url=http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0450%281984%29023%3C1362%3AACOSPE%3E2.0.CO%3B2|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref><ref>{{citar periódico|ultimo=Bagot|primeiro=Mike|ano=2009|titulo=Victorian Urban Wind Resource Assessment|jornal=|doi=|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.ata.org.au%2Fwp-content%2Fprojects%2Fata_wind_resource_assessment_report.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref>

=== Métodos de cálculos rápidos ===
As duas fórmulas seguintes podem representar um desvio padrão repetidamente atualizado. Um conjunto de duas somas de potências <math>s_1</math> e <math>s_2</math> são calculadas sobre um conjunto de <math>n</math> valores de <math>x</math> denotados como <math>x_1,\dots,x_n</math>, <math>\ s_j=\sum_{k=1}^n{x_k^j}.</math> Dados os resultados das duas somas, os valores <math>s_1</math>, <math>s_2</math> e <math>n</math> podem ser usados a qualquer hora para calcular o valor atual do desvio padrão <math>\sigma = \frac{\sqrt{ns_2-s_1^2} }{n}</math>, em que <math>n</math> é o tamanho do conjunto de valores (também pode ser denotado como <math>s_0</math>), como mencionado acima. Similarmente para o desvio padrão <math>s = \sqrt{\frac{ns_2-s_1^2}{n(n-1)}}.</math>

Em uma implementação de computador, à medida que as três somas <math>s_j</math> aumentam, é preciso considerar o erro de arredondamento, o overflow aritmético e o underflow aritmético. O método abaixo calcula o método das somas correntes com erros de arredondamento reduzidos. Isto é um algoritmo para calcular a variância de <math>n</math> amostras sem a necessidade de armazenar dados anteriores durante o cálculo.<ref name=":7" /> Aplicando este método a uma série de tempo, resultará em valores sucessivos de desvio padrão correspondente a <math>n</math> pontos dados à medida que <math>n</math> aumenta com cada nova amostra.

Para <math> k = 1, \dots, n</math>

<math>\begin{align}
A_0 &= 0\\
A_k &= A_{k-1}+\frac{x_k-A_{k-1}}{k}
\end{align}</math>, em que <math>A</math> é o valor médio.

<math>\begin{align}
Q_0 &= 0\\
Q_k &= Q_{k-1}+\frac{k-1}{k} (x_k-A_{k-1})^2 = Q_{k-1}+ (x_k-A_{k-1})(x_k-A_k)\\
\end{align}</math>, em que <math>Q_1 = 0</math> desde que <math>k-1 = 0</math> ou <math>x_1 = A_1</math>.

A variância da amostra é <math>s^2_n=\frac{Q_n}{n-1}</math>. A variância da população é <math>\sigma^2_n=\frac{Q_n}{n}</math>.

=== Cálculo ponderado ===
Quando os valores <math> x_i</math> são ponderados com pesos desiguais <math> w_i</math>, as somas de potências <math> s_0</math>, <math> s_1</math> e <math> s_2</math> são calculadas como <math>\ s_j=\sum_{k=1}^n{w_k x_k^j}.\,</math> As equações de desvio padrão continuam inalteradas, com a diferença de que <math> s_0</math> passa a ser a soma dos pesos em vez do número de observações <math> n</math>. O método incremental com erros de arredondamento reduzidos também pode ser aplicado, com alguma complexidade adicional. Uma soma de pesos deve ser computada para cada <math> k</math>, de 1 até <math> n</math>.

<math>\begin{align}
W_0 &= 0\\
W_k &= W_{k-1} + w_k
\end{align}</math>

Os locais em que <math> \frac{1}{n}</math> é usado devem ser substituídos por <math> \frac{w_i}{w_n}</math>.

<math>\begin{align}
A_0 &= 0\\
A_k &= A_{k-1}+\frac{w_k}{W_k}(x_k-A_{k-1})\\
Q_0 &= 0\\
Q_k &= Q _{k-1} + \frac{w_k W_{k-1}}{W_k}(x_k-A_{k-1})^2 = Q_{k-1}+w_k(x_k-A_{k-1})(x_k-A_k)
\end{align}</math>.

Na divisão final, <math>\sigma^2_n=\frac{Q_n}{W_n}\,</math>e <math>s^2_n = \frac{Q_n}{W_n-1}</math> ou <math>s^2_n = \frac{n'}{n'-1} \sigma^2_n,</math> em que <math> n</math> é o número total de elementos e <math> n'</math> é o número de elementos com pesos diferente de 0. As fórmulas mencionadas acima tornam-se iguais às fórmulas mais simples também mencionadas acima se os pesos forem tomados como iguais a 1.

== Aplicações ==
O desvio padrão é usado como medida de dispersão de um conjunto de dados. Quanto menor o desvio padrão, mais os valores são agrupados em torno da média.<ref name=":12" /> Seja a distribuição de notas entre os estudantes de uma sala de aula. Quanto menor o desvio padrão, mais homogêneas serão as notas. Quanto maior o desvio padrão, menos homogêneas serão as notas. Se as notas forem classificadas de 0 a 20, o desvio padrão mínimo será 0 (se todas as notas forem idênticas) e o desvio padrão máximo será 5 (se metade da classe tirar 0 e metade da classe tirar 20). Se <math>n</math> estudantes tirarem 0 e <math>n</math> estudantes tirarem 10, de modo que a amostra contenha <math>n</math> vezes a nota 0 e <math>n</math> vezes a nota 10, então a média será <math>\frac {n \times 20}{n + n}</math> ou <math>\bar X = 10</math> e <math>\bar X^2 = 100</math>. Os valores quadrados <math> X^2 </math> são <math>n \times 400</math> e <math>n \times 0</math>. A média de <math> X^2 </math>é <math>\bar X^2 = 200</math>. Portanto, a variância é 100 e o desvio padrão é 10.<ref name=":12" />

=== Testes experimentais, industriais e de hipóteses ===
Na indústria, o desvio padrão é usado para calcular o índice de fidelidade de um aparelho de medida ou o índice de qualidade de um produto.<ref name=":21">{{citar periódico|ultimo=Ferignac|primeiro=P.|ano=1959|titulo=Contrôle de Réception Quantitatif ou par Mesure|jornal=Revue de Statistique Appliquée|volume=07|numero=02|doi=|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Farchive.numdam.org%2FARCHIVE%2FRSA%2FRSA_1959__7_2%2FRSA_1959__7_2_27_0%2FRSA_1959__7_2_27_0.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref><ref name=":22">{{citar periódico|ultimo=Ferignac|primeiro=P.|ano=1965|titulo=Erreurs de Mesure et Contrôle de la Qualité|jornal=Revue de Statistique Appliquée|volume=13|numero=02|doi=|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Farchive.numdam.org%2FARCHIVE%2FRSA%2FRSA_1965__13_2%2FRSA_1965__13_2_57_0%2FRSA_1965__13_2_57_0.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref> Por exemplo, os pesos dos produtos de uma linha de produção precisam cumprir um valor exigido legalmente. Pesando uma fração dos produtos, é possível calcular o peso médio que sempre será um pouco diferente da média de longo prazo. Usando o desvio padrão, é possível encontrar um valor máximo e um valor mínimo para que o peso médio esteja dentro de uma porcentagem muito alta de tempo (igual ou maior que 99,9%). Se o desvio padrão ficar fora do intervalo, então o processo de produção precisa ser corrigido. Estes testes estatísticos são particularmente importantes quando o teste é relativamente caro.<ref name=":21" /><ref name=":22" />

Na ciência, é comum considerar que os valores são distribuídos de acordo com a [[Distribuição normal|curva de Gauss]]. Nas ciências sociais, a média e o desvio padrão determinam o intervalo em que existe a maioria da população. Se a média for <math> m </math> e o desvio padrão for <math>\sigma</math>, então 95% da população estará no intervalo <math>[m - 1,\!96 \,\sigma\, ;\, m + 1,\!96 \,\sigma]</math>e 68,2% da população estará no intervalo <math>[m - \,\sigma\, ;\, m + \,\sigma]</math>.<ref>{{citar livro|titulo=Probabilités – Analyse des Données et Statistiques|ultimo=Saporta|primeiro=Gilbert|editora=Éditions Technip|ano=2006|local=Paris|páginas=622|página=43 – 44|acessodata=}}</ref>[[Ficheiro:standard deviation diagram.svg|300px|thumb|Gráfico de distribuição normal (curva em forma de sino), em que cada barra tem largura de um desvio padrão.]]O desvio padrão também é usado para formar um [[intervalo de confiança]] de uma amostra. Na imagem ao lado, há um desvio <math>\sigma</math> nos dois lados da média de 68,2% da distribuição, dois desvios <math>\sigma</math> <math>([-2\sigma,+2\sigma]13,6+34,1+34,1+13,6) = 95,4\%</math>, 3 desvios <math>\sigma</math> <math>([-3\sigma,+3\sigma]2,1+13,6+34,1+34,1+13,6+2,1)=99,6\%</math> e assim por diante.<ref>{{citar periódico|ultimo=Lunet|primeiro=Nuno|ultimo2=Severo|primeiro2=Milton|ultimo3=Barros|primeiro3=Henrique|titulo=Desvio Padrão ou Erro Padrão|jornal=|doi=|url=http://www.scielo.mec.pt/pdf/am/v20n1-2/v20n1-2a08.pdf|acessadoem=}}</ref>

Em um exemplo na [[física de partículas]], o padrão 5 sigma é usado para considerar o resultado significativo. O padrão 5 sigma traduz uma chance em 3,5 milhões de uma flutuação aleatória afetar o resultado, o que representa uma probabilidade de erro inferior a 0,00003 % (nível de confiança superior a 99.99997%).<ref>{{citar web|url=http://cds.cern.ch/record/1416005?ln=fr|titulo=Une Fin D’Année Pleine de Suspense|data=2012|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=Bulletin Hebdomadaire du CERN|ultimo=Heuer|primeiro=Rolf}}</ref> Este nível de certeza foi requerido para declarar a primeira detecção de ondas gravitacionais<ref>{{Citation|title=Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger|year=2016|journal=Physical Review Letters|volume=116|issue=6|pages=061102|pmid=26918975|DOI=10.1103/PhysRevLett.116.061102|vauthors=((LIGO Scientific Collaboration)), ((Virgo Collaboration))|arxiv=1602.03837}}</ref><ref>{{citar periódico|ultimo=Abbott|primeiro=B. P.|ano=2016|titulo=Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger|jornal=Physical Review Letters|doi=|url=https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.116.061102|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref> e garantir a descoberta de uma partícula consistente com bóson de Higgs em dois experimentos independentes na Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear (CERN).<ref>{{citar web|url=https://home.cern/topics/higgs-boson|titulo=The Higgs Boson|data=|acessodata=15 de maio de 2017|publicado=Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear (CERN)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Em outro exemplo na mecânica quântica, o [[princípio da incerteza de Heisenberg]] afirma que o produto dos desvios padrões da posição <math>x</math> e o impulso de uma partícula é maior ou igual que a [[constante de Planck]] dividida por dois <math>(\sigma_{x} \sigma_{p} \ge \frac{\hbar}{2})</math>.<ref>{{citar periódico|ultimo=Meyer|primeiro=Yves|data=|ano=1986|titulo=Principe D'Incertitude, Bases Hilbertiennes et Algèbres D'Opérateurs|jornal=Séminaire N. Bourbaki|numero=662|doi=|url=http://www.numdam.org/article/SB_1985-1986__28__209_0.pdf|acessadoem=14 de março de 2017|página=209 – 223}}</ref>

=== Finanças ===
Em finanças, o desvio padrão da taxa de retorno de investimento é uma medida da volatilidade do investimento, ou uma medida de risco associada às flutuações de preço de um determinado ativo ou ao risco de uma carteira de ativos.<ref>{{citar web|url=http://www.edupristine.com/blog/what-is-standard-deviation|titulo=What is Standard Deviation?|data=7 de novembro de 2011|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=Edu Pristine|ultimo=|primeiro=}}</ref> O risco é um fator importante para gerenciar efetivamente uma carteira de investimentos porque ele determina a variação dos retornos sobre ativos e / ou sobre carteiras de ativos e fornece aos investidores uma base matemática para decisões de investimentos (teoria moderna do portfólio). O risco é medido pelo desvio padrão do retorno esperado sobre os preços de acordo com o [[modelo de precificação de ativos financeiros]] de Harry Markowitz.<ref>{{citar periódico|ultimo=Fery|primeiro=P.|ano=2010|titulo=Risque et Calcul Socioéconomique|jornal=|doi=|url=http://archives.strategie.gouv.fr/cas/system/files/risk-calcul-eco_101015_0.pdf|acessadoem=24 de janeiro de 2017}}</ref> Em análise técnica dos preços das ações, o desvio padrão fornece uma estimativa quantificada da incerteza dos retornos futuros. Quanto maior o retorno esperado sobre o investimento, maior o risco. Em outras palavras, investidores devem estimar o retorno esperado e a incerteza de retornos futuros.<ref>{{citar livro|título=Curso Básico de Finanças|ultimo=Zanini|primeiro=Francisco|ultimo2=Zani|primeiro2=João|editora=Elsevier|ano=2009|local=|página=85 – 86|total-páginas=176|acessodata=}}</ref>

Seja um investidor que precise escolher entre duas ações. A ação A tem um retorno médio de 10% em 20 anos, com desvio padrão de 20 pontos percentuais. A ação B tem um retorno médio de 12% no mesmo período, com desvio padrão de 30 pontos percentuais. Com base no risco e no retorno, um investidor pode decidir pela ação A pelo retorno médio adicional de 12% não compensar o desvio padrão adicional de 10 pontos percentuais (risco ou incerteza maior sobre o retorno esperado). O investimento inicial da ação B deve ser menor que o investimento inicial da ação A. O retorno da ação B deve ser em média 2% maior que o retorno da ação A. A ação A deve ganhar 10% com 10 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 30% para 10%), cerca de dois terços do retorno dos anos futuros. Quando são considerados possíveis retornos ou possíveis resultados mais extremos no futuro, um investidor deve esperar resultado de até 10% com 60 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 70% para 50%), que inclui resultados para três desvios padrões a partir do retorno médio (cerca de 99,7% do possível retorno).<ref name=":13">{{citar web|url=https://www.ucb.br/sites/100/103/tcc/12005/diogorafaeldearruda.pdf|titulo=Análise de Risco e Efeitos da Incerteza na Carteira de Investimentos|data=|acessodata=6 de fevereiro de 2017|publicado=Universidade Católica de Brasília (UCB)|ultimo=Arruda|primeiro=Diogo Rafael de}}</ref><ref name=":14">{{citar web|url=http://lojavirtual.bmf.com.br/LojaIE/portal/pages/pdf/Apostila_PQO_Cap_08_V2.pdf|titulo=Capítulo 8 – Introdução e Gestão de Risco|data=|acessodata=6 de fevereiro de 2017|publicado=Instituto Educacional BM&FBovespa|ultimo=|primeiro=|arquivourl=https://web.archive.org/web/20170517031205/http://lojavirtual.bmf.com.br/LojaIE/portal/pages/pdf/Apostila_PQO_Cap_08_V2.pdf|arquivodata=2017-05-17|urlmorta=yes}}</ref>

Calculando a média aritmética do retorno de um título em um determinado período, obtém-se o retorno esperado do ativo. Subtraindo o retorno esperado do retorno real em cada período, obtém-se a diferença a partir da média. Elevando a diferença em cada período ao quadrado e retirando a média, obtém-se a variância total do retorno do ativo. Quanto maior a variância, maior o risco do título. Encontrando a raiz quadrada da variância, obtém-se o desvio padrão da ferramenta de investimento em questão.<ref name=":13" /><ref name=":14" />[[Ficheiro:Bollinger-bands-example2.jpg|ligação=https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bollinger-bands-example2.jpg|miniaturadaimagem|Média móvel (em vermelho) e bandas de Bollinger (em azul), calculadas a partir do desvio padrão.|300x300px]]Séries temporais financeira são conhecidas por serem séries não estacionárias, enquanto os cálculos estatísticos acima como o desvio padrão aplicam–se apenas às séries estacionárias. Para aplicá–los às séries não estacionárias, as séries precisam ser transformadas em séries estacionárias, permitindo o uso de ferramentas estatísticas que agora possuem uma base válida para trabalhar.<ref>{{citar web|url=http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/tutorials/xegbohtmlnode37.html|titulo=Nonstationary Models for Time Series|data=|acessodata=23 de março de 2017|publicado=Universidade Humboldt de Berlim|ultimo=|primeiro=|arquivourl=https://web.archive.org/web/20161205182251/http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/tutorials/xegbohtmlnode37.html|arquivodata=2016-12-05|urlmorta=yes}}</ref><ref>{{citar web|url=http://etclab.mie.utoronto.ca/people/moman/Stationarity/stationarity.html|titulo=Stationarity / Nonstationarity Identification|data=|acessodata=23 de março de 2017|publicado=Universidade de Toronto|ultimo=Masliah|primeiro=Maurice R.}}</ref>

A [[análise de Bollinger]] é uma ferramenta que facilita a análise de previsões do mercado. John Bollinger construiu a curva de [[EWMA|deslocamento da média]] para vinte dias e as curvas, de cada lado da curva de [[EWMA|deslocamento da média]], situadas a duas vezes o desvio padrão dos vinte dias.<ref>{{citar web|url=http://www.bollingerbands.com/#|titulo=Bollinger Bands Introduction:|data=|acessodata=24 de janeiro de 2017|publicado=Bollinger Bands|ultimo=|primeiro=}}</ref> O desvio padrão populacional é usado para estabelecer a largura das bandas de Bollinger. A banda de Bollinger ao lado é denotada como <math>\overline{x} +n\sigma_x</math>. O valor mais comumente usado para <math>n</math> é 2. Há cerca de 5% de chance de o valor ser diferente, assumindo uma distribuição normal dos retornos.<ref>{{citar web|url=http://www.infomoney.com.br/educacao/guias/noticia/1765458/analise-tecnica-como-utilizar-com-maior-eficiencia-bandas-bollinger|titulo=Análise Técnica: Como Utilizar com Maior Eficiência as Bandas de Bollinger|data=2010|acessodata=6 de fevereiro de 2016|publicado=InfoMoney|ultimo=|primeiro=}}</ref>

=== Tempo ===
Sejam as temperaturas máximas médias diárias de duas cidades, uma no continente e outra na costa. O intervalo das temperaturas máximas diárias das cidades perto da costa é menor que as temperaturas máximas diárias das cidades no continente.<ref name=":15">{{citar web|url=http://www.sbmet.org.br/sic2011/arq/2018593476912018593476.pdf|titulo=COMPARAÇÃO ENTRE A TEMPERATURA DA ÁREA URBANA E DA ÁREA RURAL DO MUNICÍPIO DE VIGIA|data=|acessodata=15/03/2016|publicado=Universidade federal do Pará|ultimo=Lima|primeiro=Andressa Garcia|ultimo2=Mota|primeiro2=Maria Aurora Santos da|pagina=3}}</ref> Portanto, enquanto cada uma das duas cidades pode ter a mesma temperatura máxima média, o desvio padrão da temperatura máxima diária da cidade da costa será muito menor que a temperatura máxima diária da cidade no continente. Em qualquer dia particular, é mais provável que a temperatura máxima real seja mais afastada da temperatura máxima média da cidade no continente que da temperatura máxima média da cidade na costa.<ref name=":15" />

== Ver também ==
* [[Coeficiente de variação]]
* [[Variância]]
* [[Valor esperado]]
* [[Moda (estatística)]]
* [[Obliquidade]]
* [[Curtose]]

{{Referências|col=2}}

{{Estatística}}
{{Portal3|Matemática|Probabilidade e Estatística}}

[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Probabilidade]]
{{artigo destacado}}