Mostrar código-fonte de Determinante

{{Matemática}}
Em [[matemática]], '''determinante''' é uma [[função matricial]] que associa a cada [[matriz (matemática)|matriz]] [[matriz (matemática)#Matriz quadrada|quadrada]] um [[escalar]]; essa função transforma essa matriz em um [[número real]].<ref name="UOL - Educação">{{citar web |url=http://educacao.uol.com.br/matematica/determinante-numero-representa-matriz.jhtm |título=Determinante |acessodata=28 de junho de 2013 |autor=Carlos Alberto Campagner|publicado=UOL - Educação }}</ref> Esta função permite saber se a matriz tem ou não [[matriz inversa|inversa]], pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a [[Zero|0]].

O cálculo de determinantes está ligado com o conjunto solução de um [[Sistema_de_equações_lineares|sistema linear]], pois se o cálculo da matriz dos coeficientes de um sistema de equações lineares, onde o número de equações é igual o número de incógnitas (uma matriz quadrada) for um valor diferente de zero, possuímos uma única solução para o sistema, caso o valor do determinante for zero, temos um sistema possível indeterminado ou impossível.<ref name = "Paiva">{{citar livro|titulo=Matemática:  Paiva, 2|ultimo=PAIVA|primeiro=Manoel Todrigues|editora=Moderna|ano=2010|isbn=9788516068332|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref>

Para as matrizes de ordem 1, o valor do determinante é o próprio elemento: <math> \det \begin{pmatrix} a_{11}  \end{pmatrix} = a_{11}</math>.

Para as matrizes de ordem 2, realizamos uma multiplicação dos elementos da diagonal principal e diminuiremos pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária, ou seja: <math display="block">\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.</math>

Para matrizes de ordem 3, utilizamos da [[Regra de Sarrus]]: <math display="block">\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + bfg + cdh) - (afh + bdi + ceg).</math>

Para qualquer matriz de ordem 2 ou superior, podemos utilizar de dois outros processos, conhecidos como [[Teorema de Laplace]] e [[fórmula de Leibniz]]. Ambos permitem calcular o determinante de uma matriz de ordem n.

Os determinantes são utilizados para cálculos relacionados a [[independência linear]], orientação de uma [[Base_(álgebra_linear)|base]] em um [[espaço vetorial]], cálculo de [[volume]]s a partir de uma [[matriz jacobiana]], cálculo de uma [[matriz de Vandermonde]] e cálculos de [[Matriz_circulante|circulantes]].


== Definição ==
Seja <math>M</math> o [[conjunto]] das [[Matriz (matemática)|matrizes]] com <math>n</math> linhas e <math>n</math> colunas sobre um [[Corpo (matemática)|corpo]] <math>K.</math> Pode-se [[Prova matemática|provar]] que existe uma única [[função (matemática)|função]] <math>f</math> com as seguintes propriedades:
# <math>f</math> é [[função n-linear|''n''-linear]] e [[função alternada|alternada]] nas linhas das matrizes;
# <math>f(I_n) = 1,</math> onde <math>I_n</math> é a [[matriz identidade]].
Esta função <math>f</math> denomina-se de '''determinante'''.

O determinante de uma matriz <math>A</math> representa-se por <math>|A|</math> ou por <math>\det(A).</math> <ref name="mactutor1" group="Nota">A notação <math>|\cdot|</math> foi introduzida pela primeira vez por volta de 1841 pelo matemático inglês [[Arthur Cayley]] ([http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor]).</ref>

==História==
Historicamente {{Nota de rodapé| Retirado e traduzido da wikipédia inglesa na página [[:en:Determinant#History|Determinant]]}}, os determinantes eram usados muito antes das matrizes: originalmente, um determinante era definido como uma propriedade de um sistema de equações lineares. O determinante "determina" se o sistema possui uma solução exclusiva (que ocorre precisamente se o determinante for diferente de zero).<ref>A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory : {{citar web|url=http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html |título=Archived copy |acessodata=2012-01-24 |urlmorta= sim|arquivourl=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html |arquivodata=2012-09-10 |df= }}</ref>

Os determinantes foram usados pela primeira vez no livro de matemática chinês [[Os nove capítulos da arte matemática]] (por volta do século III a.C.). Na Europa, os determinantes de matriz de ordem 2 foram estudados por [[Girolamo_Cardano|Cardano]] no final do século XVI e os maiores por [[Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Leibniz]]<ref name="Campbell" />

No Japão, [[Seki Takakazu]] é creditado pela descoberta do resultante e do determinante (inicialmente em 1683, mas a versão completa até 1710). Na Europa, [[Gabriel_Cramer|Cramer]] (1750) acrescentou à teoria de forma a tratar o determinante em relação a conjuntos de [[Equação|equações]]. A lei de recorrência foi anunciada pela primeira vez por Bézout (1764).<ref name="Campbell">History of matrices and determinants: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html</ref>

Foi [[Alexandre-Theóphile_Vandermonde|Vandermonde]] (1771) quem primeiro reconheceu os determinantes em relação a funções independentes. [[Pierre-Simon_Laplace|Laplace]] (1772) desenvolveu o método geral ao expandir um determinante em termos de seus menores complementares, onde Vandermonde já havia apresentado um caso especial. Imediatamente depois, [[Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]] (1773) tratou determinantes de segunda e terceira ordem, provando muitos casos especiais de identidades gerais.<ref name="Campbell" />

[[Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]] (1801) fez o próximo avanço. Como Lagrange, ele fez muito uso de determinantes na [[teoria dos números]]. Ele introduziu a palavra determinante (Laplace usara resultante). Gauss também chegou à noção de inverso do determinante e chegou muito perto do teorema da multiplicação.<ref name="Campbell"/>

O próximo colaborador de importância é [[Alfred_Binet|Binet]] (1811, 1812), que declarou formalmente o teorema relativo ao produto de duas matrizes de m colunas e n linhas, o que para o caso especial de m = n se reduz ao teorema da multiplicação. No mesmo dia (30 de novembro de 1812) em que Binet apresentou seu trabalho à Academia, Cauchy também apresentou um sobre o assunto. (Veja a [[Fórmula_de_Binet-Cauchy|fórmula de Cauchy-Binet]].) Nisso, ele usou a palavra determinante em seu sentido atual,<ref>Origins of mathematical terms: http://jeff560.tripod.com/d.html</ref> resumiu e simplificou o que era então conhecido sobre o assunto, melhorou a notação e deu ao teorema da multiplicação uma prova mais satisfatória que a realizada por Binet, onde começa a teoria de forma geral.<ref name="Campbell"/>

A próxima figura importante foi [[Carl_Gustav_Jakob_Jacobi|Jacobi]](de 1827). Ele usou o determinante funcional, que [[James_Joseph_Sylvester|Sylvester]] mais tarde chamou de [[matriz jacobiana]], e, em suas memórias no Crelle's Journal de 1841, tratou especialmente desse determinante funcional. Da mesma forma, tratou sobre a classe de funções alternadas, as quais Sylvester chamou de matriz alternante. Na época das últimas memórias de Jacobi, Sylvester (1839) e [[Arthur_Cayley|Cayley]] começaram seus trabalhos.<ref>History of matrix notation: http://jeff560.tripod.com/matrices.html</ref>

O estudo de formas especiais de determinantes tem sido o resultado natural da conclusão da teoria geral. Determinantes axissimétricos foram estudados por Lebesgue, Hesse e Sylvester; determinantes persimétricos de Sylvester e [[Hermann_Hankel|Hankel]]; circulantes de [[Eugène_Charles_Catalan|Catalan]], [[William_Spottiswoode|Spottiswoode]], [[James_Whitbread_Lee_Glaisher|Glaisher]] e Scott; determinantes de inclinação e Pfaffians, em conexão com a teoria da transformação ortogonal, de Cayley; continuantes de Sylvester; Wronskians (assim chamados por Muir) por [[Elwin_Bruno_Christoffel|Christoffel]] e [[Ferdinand_Georg_Frobenius|Frobenius]]; determinantes compostos de Sylvester, Reiss e Picquet; jacobianos e [[hessiano]]s de Sylvester; e determinantes simétricos de Trudi. Dos livros didáticos sobre o assunto, Spottiswoode foi o primeiro. Nos Estados Unidos, Hanus (1886), Weld (1893) e Muir / Metzler (1933) publicaram tratados.<ref name="Campbell"/>

== Propriedades ==
# O determinante da matriz identidade é um:<ref name="callioli-205">Callioli 1990, p. 205</ref><br>&nbsp;&nbsp; <math>\left| I_n \right| = 1</math>
# O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua [[Matriz transposta|transposta]]:<br>&nbsp;&nbsp; <math>\left| A \right| = \left| A^T\right|</math>
# Se uma matriz quadrada é [[Matriz inversa|invertível]] então, o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante:<br>&nbsp;&nbsp; <math>\left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A\right|}.</math> Resulta desta propriedade ainda, que para matrizes invertíveis, verifica-se que <math>\left| A \right| \neq 0</math>
# O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é o produto dos determinantes ([[teorema de Binet]]):<ref name="callioli-219">Callioli 1990, p. 219</ref><br />&nbsp;&nbsp; <math>\left| AB \right| = \left| A \right| \left| B \right|</math>
# O determinante da multiplicação de um escalar por uma matriz quadrada de ordem <math>n</math> resulta nesse escalar elevado a <math>n</math> vezes o determinante dessa matriz:<br>&nbsp;&nbsp; <math>\left| \lambda A \right| = \lambda^n \left| A \right|,</math> onde <math>n</math> é a ordem da matriz <math>A</math>
# Se <math>A</math> é [[Matriz ortogonal|ortogonal]], então<br>&nbsp;&nbsp; <math>\left| A \right| = \pm 1.</math>
# Se uma matriz é [[Matriz triangular|triangular]] (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:<br>&nbsp;&nbsp; Seja <math>A</math> uma matriz [[Matriz triangular|triangular]] de ordem <math>n,</math> então <math>\left| A \right| =  a_{1,1} a_{2,2} \cdots a_{n,n} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}.</math>
# Se uma fila (linha ou coluna) da matriz <math>A</math> é composta de zeros, então <math>\left|A\right|=0;</math>
# Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de <math> A </math> como [[Adição|soma]] de duas parcelas então <math>\left| A \right|</math> é a soma de dois determinantes de ordem <math> n </math> cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
# Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz <math> A </math> por um escalar <math>\lambda,</math> então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de <math> A </math> multiplicado por <math>\lambda;</math>
# Se permutarmos duas linhas ou colunas de <math> A </math> então o determinante da nova matriz é <math>-\left| A \right|;</math>
# Se <math> A </math> tem duas linhas (ou colunas) iguais, então <math>\left| A \right|=0;</math>
# Dadas as matrizes A e B quadradas, de ordem n, com elementos diferentes apenas na fila j. O determinante de C, matriz quadrada de ordem n, onde a sua fila j é a soma dos elementos da fila j de A e B é igual ao determinante de A somado ao determinante de B (<math> \det C = \det A + \det B </math>).<ref name = "Iezzi">{{citar livro|titulo=Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares|ultimo=IEZZI|primeiro=Gelson|editora=Atual|ano=1977|isbn=9788535717488|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref>
# Se somarmos a uma linha (ou coluna) de <math> A </math> um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de <math> A ;</math> (essa propriedade também  é conhecida como [[Teorema de Jacobi]]).<ref name = "Iezzi"/>

===Regra de Chiò===
Uma consequência da última propriedade é a Regra de Chiò, que permite reduzir em um a ordem da matriz e facilitar o cálculo do determinante.<ref name = "Iezzi"/>

A regra permite suprimir a 1ª linha e coluna de uma matriz M que possui um o elemento <math> a_{11} = 1 </math>. Para cada elemento restante, será subtraído o produto dos elementos nas extremidades da linha e coluna suprimida, de forma geral: <math> A_{nn} = a_{nn} - (a_{n1} \cdot a_{1n}) </math>. Os resultados formam uma nova matriz com o mesmo determinante que anterior.

Assim temos:

<math> det M = \det \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} = 

\det \begin{pmatrix} a_{22} - (a_{21} \cdot a_{12}) & a_{23} - (a_{21} \cdot a_{13}) & \dots & a_{2n} - (a_{21} \cdot a_{1n})  \\ a_{32} - (a_{31} \cdot a_{12}) & a_{33} - (a_{31} \cdot a_{13}) & \dots & a_{3n} - (a_{31} \cdot a_{1n}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} - (a_{n1} \cdot a_{12}) & a_{n3} - (a_{n1} \cdot a_{13}) & \dots & a_{nn} - (a_{n1} \cdot a_{1n}) \end{pmatrix}  </math>

Caso a matriz não ter o elemento <math>a_{11} = 1</math>, podemos utilizar trocas de filas paralelas ou do teorema de Jacobi para transformar um elemento em 1 através de uma operação.

==Cálculo de determinantes==
=== Determinante de uma matriz de ordem 1 ===
O determinante da matriz <math>A</math> de ordem <math>n = 1,</math> é o próprio número que origina a matriz.
Dada uma [[matriz quadrada]] de 1ª ordem  <math>M=[a_{11}]</math>  temos  que o determinante é o número real <math>a_{11}:</math>
<math display="block">\det(M) = a_{11}.</math>
Por exemplo:
<math display="block">A = ( 3 ),</math> então  <math>\det(A) = 3.</math>

=== Determinante de matriz de ordem 2 ===
[[Imagem:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|direita|A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelos vetores que representam seus lados]]
O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, ''termo principal'' e ''termo secundário'' da matriz.

<math display="block">\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.</math>

Por exemplo, o determinante da matriz <math>\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math> é dado por: <math>0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2.</math>

=== Determinante de matriz de terceira ordem ===
[[Imagem:Determinant 3x3 Example.svg|thumb|direita|O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais]]
Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de [[Pierre Frédéric Sarrus|Sarrus]], que resulta no seguinte cálculo:

<math display="block">\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + bfg + cdh) - (afh + bdi + ceg).</math>

* Por exemplo:
<math display="block"> A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow  \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}</math>

<math display="block"> \det(A) = ((1 . 1 . 10) + (3 . 10 . 0) + (10 . (-1) . 2)) - ( (1 . 10 . 2) + (3 . (-1) . 10) + (10 . 1 .0))</math>

<math display="block"> = (10 + 0 + (-20)) - ((20 + (-30) + 0)</math>

<math display="block"> = 0</math>

[[File:Determinant parallelepiped.svg|300px|right|thumb|O volume deste [[paralelepípedo]] é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelas linhas construídas a partir dos vetores <math> r_1, r_2 </math>e<math> r_3 </math>.]]

=== Determinantes de ordem maior ou igual a 4 ===
Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior ou igual a 2 utiliza-se o [[teorema de Laplace]], mas usualmente o utilizamos para matrizes de ordem maior ou igual a 4. Esse teorema estabelece o seguinte:

: ''O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos [[Cofator (álgebra)|complementos algébricos]].(cofatores matriciais --<math>MC</math>-- matrix cofactor)''<ref>[http://www.colegioweb.com.br/matematica/teorema-de-laplace.html Teorema de Laplace]</ref>

O complemento algébrico de um elemento <math>a_{i,j}</math> de uma matriz é o número <math>A_{i,j} = (-1)^{i+j}\cdot\ MC_{i,j},</math> sendo <math>MC_{i,j}</math> o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha ''i'' e a coluna ''j''.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem ''n'' ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem ''n-1''. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da [[regra de Sarrus]].

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna ''que contiver mais zeros''.

Uma fórmula de somatório pode ser escrita como:

<math>\det (A) = \sum^n_{j = 1} (-1)^{i+j} . a_{i j} . \det(A_{-i -j})</math>

Onde n é o número de linhas da matriz, i é a posição em relação às linhas, j é a posição em relação às colunas, e <math>\det(A_{-i -j})</math> é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Note que esse somatório depende apenas de suas colunas em relação a uma linha escolhida, portanto, como mencionado acima, procure escolher a coluna que contenha a maior quantidade de zeros.

==== Exemplo com uma matriz 4x4 ====
Seja a matriz com 4 linhas e 4 colunas

<math display="block">A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}</math>

Aplicando a fórmula mencionada acima, temos:

<math>\det (A) = \sum^4_{j = 1} (-1)^{1+j} . a_{1 j} .\det(A_{-1 -j})</math>

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:<math display="block" id="=">\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det \bigl(A_{-1,-1}\bigr)
+a_{12} . (-1)^{1+2} . \det \bigl(A_{-1,-2}\bigr)
+a_{13} . (-1)^{1+3} . \det \bigl(A_{-1,-3}\bigl)
+a_{14} . (-1)^{1+4} . \det \bigl(A_{-1,-4}\bigl),</math>onde ''A''<sub>−''i'',−''j''</sub> representa a matriz obtida a partir de ''A'', com a retirada da ''i''-ésima linha e da ''j''-ésima coluna.

<math>\det A = a_{11} . (-1)^{2} .
\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}
+a_{12} . (-1)^{3} .
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}
+a_{13} . (-1)^{4} .
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix}
+a_{14} . (-1)^{5} .
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix}</math>

Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem. O cálculo é longo mas é fácil:

<math>\det A = a_{11} . (1) . \{[a_{22}.a_{33}.a_{44}+a_{32}.a_{43}.a_{24}+a_{42}.a_{23}.a_{34}]-[a_{24}.a_{33}.a_{42}+a_{22}.a_{43}.a_{34}+a_{23}.a_{32}.a_{44}]\}</math>

<math display="inline" id="=">+a_{12} . (-1) . \{[a_{21}.a_{33}.a_{44}+a_{31}.a_{43}.a_{24}+a_{41}.a_{23}.a_{34}]-[a_{24}.a_{33}.a_{41}+a_{34}.a_{43}.a_{21}+a_{44}.a_{31}.a_{23}]\}

</math><math>+a_{13} . (1) . \{[a_{21}.a_{31}.a_{44}+a_{31}.a_{42}.a_{24}+a_{41}.a_{22}.a_{34}]-[a_{24}.a_{32}.a_{41}+a_{34}.a_{42}.a_{21}+a_{44}.a_{31}.a_{22}]\}</math>

<math>+a_{14} . (-1) . \{[a_{21}.a_{32}.a_{43}+a_{31}.a_{42}.a_{23}+a_{41}.a_{22}.a_{33}]-[a_{23}.a_{32}.a_{41}+a_{33}.a_{42}.a_{21}+a_{43}.a_{31}.a_{22}]\}</math>

==== Caso geral ====
Então definimos o determinante de ordem ''n'' desenvolvido pela ''i''-ésima linha:

<math display="block">\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\  a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}</math><math>= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{-i,-j}.</math>

==== Matrizes <math>n</math> por <math>n</math> ====
O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A [[fórmula de Leibniz]] para determinante de uma matriz '''A''', <math>n</math> por <math>n</math> é
<math display="block">\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.</math>

== Cálculo de determinantes por triangularização ==
Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma [[matriz triangular]] é o seu ''termo principal'' (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a ''triangularizá-lo''. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

* Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 11);
* Multiplicar uma linha por um [[número real]] <math>\lambda</math> não nulo, multiplica o determinante por <math>\lambda</math> (propriedade 6);
* Somar a uma linha um [[múltiplo]] de outra '''não altera o determinante''' (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é [[algoritmo|algorítmico]], constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

<math> \begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}</math><ref>{{Citar web|url=https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s9-determinantes.html|titulo=Outros exemplos e métodos|data=|acessodata=18 de julho de 2018|obra=REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática|publicado=Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul|ultimo=|primeiro=}}</ref>
<math display="block"> L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1</math>
<math> = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}</math>
<math display="block">L_{2} \leftarrow L_{2} - 5.L_{1}  \land  L_{3} \leftarrow L_{3} + 3.L_{1}</math>
<math> = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}</math>
<math display="block">L_{2} \leftarrow \frac{1}{14} L_2</math>
<math> = 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}</math>
<math display="block"> L_{3} \leftarrow L_{3} + 6.L_{2}</math>
<math> = 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix}</math>
<math>= 2 \cdot 14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 224</math>

==Aplicações==
===Independência Linear===
Como mencionado acima{{Nota de rodapé| Retirado e traduzido da wikipédia inglesa na página [[:en:Determinant#Applications|Determinant]]}}, o determinante de uma matriz (com entradas reais ou [[Número_complexo|complexas]], por exemplo) é zero se e somente se os [[Vetor_(matemática)|vetores]] de coluna (ou os vetores de linha) da matriz forem [[Independência_linear|linearmente dependentes]]. Assim, determinantes podem ser usados para caracterizar vetores linearmente dependentes. Por exemplo, dados dois vetores linearmente independentes <math>v_1, v_2 </math> em <math>R_3</math>, um terceiro vetor <math>v_3</math> está no [[Plano_(geometria)|plano]] medido pelos dois primeiros vetores exatamente se o determinante da matriz 3 × 3 que consiste nos três vetores for zero. A mesma ideia também é usada na teoria das [[Equação_diferencial|equações diferenciais]]: dadas n funções <math>f_1 (x), ... , f_n (x) </math> (supostamente n - 1 vezes diferenciáveis), o [[Wronskiano]] é definido como

<math>W(f_1, \ldots, f_n)(x) =
  \begin{vmatrix}
            f_1(x) &         f_2(x) & \cdots &         f_n(x) \\
           f_1'(x) &        f_2'(x) & \cdots &        f_n'(x) \\
            \vdots &         \vdots & \ddots &         \vdots \\
    f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}.</math>

É diferente de zero (para alguns x) em um intervalo especificado se e somente se as funções fornecidas e todas as suas derivadas até a ordem n-1 forem linearmente independentes. Se for demonstrado que o Wronskiano é zero em todo lugar em um intervalo, no caso de [[Função_analítica|funções analíticas]], isso implica que as funções fornecidas são linearmente dependentes.

===Orientação de uma base===
O determinante pode ser considerado como atribuindo um número a cada [[sequência]] de n vetores em <math>R_n</math>, usando a matriz quadrada cujas colunas são os vetores fornecidos. Por exemplo, uma [[matriz ortogonal]] com entradas em <math>R_n</math> representa uma [[base ortonormal]] no [[espaço euclidiano]]. O determinante dessa matriz determina se a orientação da base é consistente ou oposta à orientação da [[base canônica]]. Se o determinante for +1, a base terá a mesma orientação. Se for -1, a base tem a orientação oposta.

Em geral, se o determinante de A é positivo, A representa uma transformação linear que preserva a orientação (se A é uma matriz ortogonal 2 × 2 ou 3 × 3, isso é uma rotação), enquanto que se for negativo, A mudará a orientação da base.

===Volume e determinante jacobiano===
Como apontado acima, o [[função_modular|valor absoluto]] do determinante de vetores reais é igual ao [[volume]] do [[paralelepípedo]] medido por esses vetores. Como conseqüência, se <math> f: R_n \rightarrow R_n </math> é o mapa linear representado pela matriz A e S é qualquer subconjunto mensurável de <math>R_n</math>, o volume de f (S) é dado por | det (A) | vezes o volume de S. Em geral, se o mapa linear <math> f: R_n \rightarrow R_m </math> é representado pela matriz m x n A, então o volume n-dimensional de f (S) é dado por:

<math>\operatorname{volume}(f(S)) = \sqrt{\det\left(A^\textsf{T} A\right)} \times \operatorname{volume}(S).</math>

Ao calcular o volume do [[tetraedro]] delimitado por quatro pontos, eles podem ser usados para identificar linhas de inclinação. O volume de qualquer tetraedro, dados seus vértices a, b, c e d, é <math> \frac{1}{6} \cdot | det (a - b, b - c, c - d) | </math> ou qualquer outra combinação de pares de vértices isso formaria uma árvore estendida sobre os vértices.

:<math>f: \mathbf R^n \rightarrow \mathbf R^n,</math>

Para uma função diferenciável geral, grande parte das opções acima se mantém considerando a matriz jacobiana de f. Para

:<math>f: \mathbf R^n \rightarrow \mathbf R^n,</math>

a matriz jacobiana é a matriz n × n cujas entradas são dadas por

:<math>D(f) = \left(\frac {\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}.</math>

Seu determinante, o determinante jacobiano, aparece na versão de dimensão mais alta da integração por substituição: para funções adequadas f e um subconjunto aberto U de <math>R_n</math> (o domínio de f), a integral sobre f (U) de alguma outra função <math>g: R_n \rightarrow R_m</math> é dado por

:<math>\int_{f(U)} \phi(\mathbf{v})\, d\mathbf{v} = \int_U \phi(f(\mathbf{u})) \left|\det(\operatorname{D}f)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.</math>

O jacobiano também ocorre no teorema da [[função inversa]].

===Determinante de Vandermonde (alternativo)===
O determinante de ordem 3 da [[matriz de Vandermonde]] é

:<math>\left|
\begin{array}{ccc}
 1 & 1 & 1 \\
 x_1 & x_2 & x_3 \\
 x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{array}
\right|=(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1).</math>

Em geral, o determinante de Vandermonde de n-sima ordem é

:<math>\left|\begin{array}{ccccc}
            1 &         1 &         1 & \cdots &         1 \\
          x_1 &       x_2 &       x_3 & \cdots &       x_n \\
        x_1^2 &     x_2^2 &     x_3^2 & \cdots &     x_n^2 \\
       \vdots &    \vdots &    \vdots & \ddots &    \vdots \\
    x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
  \end{array}\right| =
  \prod_{1 \leq i < j \leq n} \left(x_j - x_i\right),
</math>

onde o lado direito é o produto continuado de todas as diferenças que podem ser formadas a partir dos <math>\frac{n \cdot (n-1)}{2}</math> pares de números retirados de <math>x_1, x_2, ... , x_n</math>, com a ordem das diferenças encontradas no ordem invertida dos sufixos envolvidos.

===Circulantes===
{{AP|[[Matriz_circulante|Matriz Circulante]]}}
Segunda ordem

:<math>\left|\begin{array}{cc}
  x_1 & x_2 \\
  x_2 & x_1
\end{array}\right| = \left(x_1 + x_2\right)\left(x_1 - x_2\right).</math>

Terceira ordem

:<math>\left|\begin{array}{ccc}
    x_1 & x_2 & x_3 \\
    x_3 & x_1 & x_2 \\
    x_2 & x_3 & x_1
  \end{array}\right| =
  \left(x_1 + x_2 + x_3\right)\left(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3\right)\left(x_1 + \omega^2 x_2 + \omega x_3\right),
</math>

onde ω e ω2 são as raízes complexas do cubo de 1. Em geral, o determinante circulante de n-ordem é

:<math>\left|\begin{array}{ccccc}
    x_1     & x_2    & x_3    & \cdots & x_n     \\
    x_n     & x_1    & x_2    & \cdots & x_{n-1} \\
    x_{n-1} & x_n    & x_1    & \cdots & x_{n-2} \\
    \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
    x_2     & x_3    & x_4    & \cdots & x_1
  \end{array}\right| =
  \prod_{j=1}^n \left(x_1 + x_2\omega_j + x_3\omega_j^2 + \cdots + x_n\omega_j^{n-1}\right),
</math>

onde ωj é a enésima raiz de 1.

== Ver também ==
* [[Matriz (matemática)|Matriz]]
* [[Matriz de Vandermonde]]
* [[Equação linear]]
* [[Transformação linear]]

{{notas e referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|nome=Carlos A. |sobrenome=Callioli |coautor= Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa |título=Álgebra Linear e Aplicações |edição=6 |local= São Paulo |editora=Atual |ano=1990 |isbn= 9788570562975}}

{{Esboço-matemática}}

[[Categoria:Álgebra linear]]
[[Categoria:Matrizes]]