Mostrar código-fonte de E (constante matemática)

{{Ver desambig|prefixo=Se procura|constante de Euler|constante de Euler}}
[[Ficheiro:hyperbola E.svg|thumb|237px|right|Gráfico da equação <math>y=1/x.</math> Aqui, {{mvar|e}} é o número único maior que 1 que faz a área à sombra ser igual a 1.]]
{{E (constante matemática)}}
O número '''{{mvar|e}}''' é uma [[constante matemática]] que é a base dos [[logaritmo natural|logaritmos naturais]]. Por vezes é chamado '''número de Euler''' (ou constante de Euler) em homenagem ao [[matemático]] [[Suíça|suíço]] [[Leonhard Euler]], '''número de Napier''', em homenagem a [[John Napier]], '''número de Neper'''<ref>{{citar web|URL = http://www.infopedia.pt/$numero-de-neper|título = Número de Neper|data = |acessadoem = |autor = |publicado = }}</ref>,  '''constante de Néper''', '''número neperiano''', '''constante matemática''', '''número exponencial''' e outros. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de [[John Napier]]. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por [[Jakob Bernoulli]], quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de [[juros compostos]]):
: <math>k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)</math>
para <math>r=k=1</math>, ou seja:
: <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
ou ainda, substituindo-se ''n'' por <math>\frac{1}{h}</math>
:<math>e = \lim_{h\to 0^+} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}</math>
Cujo valor é aproximadamente '''2,718281828459045235360287'''.

== Caracterizações menos triviais de <math>e</math> ==
Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:
<math> \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e</math>

O número <big><big><math>e</math></big></big> pode ser representado e calculado por meio da utilização da [[série de Taylor]] para <big><big><math>e^{x}</math></big></big> quando x=1, como a soma da seguinte [[série (matemática)|série]] infinita:
: <math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots</math>

Aqui ''n''! representa o [[fatorial]] de ''n''.

A função <big><big><math>e^{x}</math></big></big> ([[função exponencial]] de base <big><big><math>e</math></big></big>) pode ser representada da seguinte forma:
:<math>(\forall x\in\mathbb{R})</math>, <math>exp(x)=e^x</math>
assim, por exemplo, tem-se :
:<math>\exp(3)=e\times e \times e=e^3</math> ou ainda
:<math>\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}</math>

Outra maneira de se encontrar o valor de <big><big><math>e</math></big></big> é pelo desenvolvimento da [[fração contínua]], escrito sob a forma interessante:

:<math>e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}</math>

Ou, de forma mais simplificada {{OEIS|id=A003417}}:

:<math>e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,</math>

que pode ser escrita mais harmoniosamente com a utilização do zero:
:<math> e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,</math>

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam <big><big><math>e</math></big></big> já foram desenvolvidas.

== O Número <math>e</math> no Cálculo ==
A função exponencial <big><big><math>y=e^{x}</math></big></big> tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
: <math>\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}</math>
Isto significa que <big><big><math>e</math></big></big> tem a notável propriedade de que a taxa de variação de <big><big><math>e^{x}</math></big></big> no ponto  x = t vale <big><big><math>e^{t}</math></big></big>. Daí sua importância no [[cálculo diferencial]] e [[cálculo integral|integral]], e seu papel único como base do logaritmo natural.
Além desta, pela [[regra da multiplicação por constante]], as funções <big><big><math>y=ke^{x}</math></big></big>, <math>(\forall k\in\mathbb{R})</math> também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir <big><big><math>e</math></big></big> como sendo o único número maior que zero tal que:
: <math>\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}</math>

== Mais Sobre <math>e</math> ==
O número <big><big><math>e</math></big></big> é um número [[número irracional|irracional]] e [[número transcendente|transcendente]] (como [[pi]]). A irracionalidade de <big><big><math>e</math></big></big> foi demonstrada por [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] em [[1761]] e mais tarde por [[Leonhard Euler|Euler]]. A prova da transcendência de <big><big><math>e</math></big></big> foi estabelecida por [[Charles Hermite|Hermite]] em [[1873]].

[[Conjectura|Conjecturou-se]] que <big><big><math>e</math></big></big> é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na [[identidade de Euler]], considerada a expressão mais "bela" da [[matemática]]: 

: <math>e^{i\pi}+1=0 \,</math>

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

: <math>e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!</math>

que, por sua vez, advém da série de Taylor para <big><big><math>f(ix)=e^{ix}</math></big></big>.

[[Leonhard Euler]] começou a usar a letra <big><big><math>e</math></big></big> para representar a constante em [[1727]], e o primeiro uso de <big><big><math>e</math></big></big> foi na publicação Euler’s Mechanica ([[1736]]).
As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque <big><big><math>e</math></big></big> é a primeira letra da palavra [[exponencial]].

Outra aparição do número de Euler é na [[probabilidade]]: caso se escolham números entre <big><math>zero</math></big> e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a <big><big><math>e</math></big></big>.

== <math>e</math> como séries infinitas ==
Dentre as várias séries infinitas que resultam em <big><big><math>e</math></big></big>, têm-se, além da trivial:

:<math>e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}</math>

:<math>e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}</math>

:<math>e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math>

:<math>e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>

:<math>e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>

:<math>e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>

:<math>e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}</math>

:<math>e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>

:<math>e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}</math>

:<math>e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}</math>

== <math>e</math> como limites e produtos infinitos ==
Os produtos infinitos

:<math> e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots </math>

e

::<math> e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,</math>

Em que o n-ésimo fator corresponde à raiz do produto

:<math>\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},</math>

resultam no número de Euler, assim como os seguintes [[limite]]s:

:<math> e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}   </math>

:<math> e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} </math>

:<math>e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]</math>

== <math>e</math> com os primeiros 510 dígitos decimais ==

::<math>e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247</math>
:::<math>\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382</math>
:::<math>\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629</math>
:::<math>\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763</math>
:::<math>\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089</math>
:::<math>\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411</math>
:::<math>\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838</math>
:::<math>\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113</math>
:::<math>\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692</math>
:::<math>\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953</math>
:::<math>\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230</math>
:::<math>\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots</math>

== Exemplos de código para o cálculo de <math>e</math> ==

Na [[Linguagem C]]:<syntaxhighlight lang="c">
/*Código em C para calcular número de Euler, com n tendendo à 10^6.
Utiliza-se a expressão de Jakob Bernoulli neste caso.*/

#include <stdio.h>

  int main() {

    int contador = 1, exp = 1;
    double y, aux = 1, n = 1;

    do {
      y = (1 + (1 / n));

      while (exp <= contador) {
        aux = y * aux;
        exp++;
      }

      exp = 1;
      printf("\n      %.100lf \n\n\n ", aux);

      contador++;
      aux = 1;
      n++;

    } while (contador <= 1000000);

    return 0;
  }
</syntaxhighlight>

Na [[Linguagem C++]]:<syntaxhighlight lang="c++">
/* Código em C++ para calcular a precisão do número de Euler, onde n é a precisão 
a qual o número de Euler será calculado. */

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	
	int fatorial;
	float somatorio = 0;
	
	for (int i = 0; i < n; ++i){
		if (i == 0)
			fatorial = 1;
		else{		
			fatorial = i;
			for (int cont = i - 1; cont > 0 ; --cont){
				fatorial *= cont;
			}
		}
		somatorio += (1/double(fatorial));
	}
	
	cout << double(somatorio) << endl;

    system("pause");
	return 0;
}
</syntaxhighlight><syntaxhighlight lang="c++">
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <windows.h>
using namespace std;

//Fatorial, n!
float fatorial(int valor){
	float fator = 1.0;
	while (valor > 0) {
		fator *= valor;
		valor--;
	}
	return fator;
}

//Somatório da equação 1/n!, onde n assume valores crescentes
//(Decrescentes para o caso dessa função)
long double eqn_Euler(int n_val){
	long double somatorio = 0;
	while (n_val >= 0) {
		somatorio += (1.0 / fatorial(n_val));
		n_val--;
	}
	return somatorio;
}


int main(){
	cout << setprecision(16), fixed;

	cout << eqn_Euler(100) << endl;

	system("pause");
	return 0;
}
</syntaxhighlight>

Na [[Python|Linguagem Python]]:<syntaxhighlight lang="python" start="1">
''' Código em Python para calcular o número de Euler, através de um somatório
de séries infinidas de zero à n, onde n é o último valor inteiro da série. '''

n  = int(input()) #pedindo o valor para a variável n

somatorio = 0 #iniciando a variável somatório como igual a zero

for i in range(n+1):
    #o algoritmo irá calcular o valor de euler com aprecisão definida por n
    
    if (i == 0):
        fatorial = 1
        #caso i for igual a zero a variável fatorial será
        #igualada a 1 pois 0!=1
        
    else:
        for ii in range(1, i+1):
            fatorial *= float(ii)
            #cálcudo do fatorial para valores diferentes de zero
            #note que a função range() começa em 1, o padrão é zero
            
    somatorio += (1/fatorial)
    #faz-se 1 dividido pelo fatorial do valor e soma-se esse à
    #variável somatorio, aqui é onde o número de euler tomará forma
    
    fatorial = 1
    #reinicia-se o valor da variável fatorial
    
print(somatorio)
#mostra o valor alcançado através do algoritmo
</syntaxhighlight><syntaxhighlight lang="python">
'''
número euler calculado limite de (1+1/n)^n com n se aproximando ao
infinito calculando os 200 primeiros dígitos, através da
biblioteca decimal
'''

from decimal import Decimal, getcontext

def euler(precisao):
    prec_n = precisao
    n_val = 4
    
    while prec_n > 1:
        prec_n /= 8
        n_val += 1
    #determinando o expoente máximo para a função (1+1/n)^n
    
    getcontext().prec = precisao+n_val
    #determinando a precisão a algumas casas decimais a mais
    #objetivando o arredondamento, se for o caso
    
    x = Decimal(1)/Decimal(1 << n_val)
    #x = 1/n, com o maior n cabível para a precisão requerida
    #-> Decimal(1 << n_val) = 2^(n_val)
    #-> x = 1 / [2^(n_val)]
    
    eps = Decimal(1)/Decimal(1 << int(1 + (10*precisao)/3 ))
    #determinando o épsilon da máquina/ponto flutuante
    #-> eps = 1 / [2^int(1 + (10*precisao)/3)]
    
    termo = x
    #termo = 1/n
    som_exp = Decimal(1) + x
    #som_exp = 1 + 1/n
    m = 2
    
    while termo > eps:
        termo *= x / Decimal(m)
        #termo = 1/n*[(1/n)/m], onde m crescerá
        m += 1
        som_exp += termo
        #1/n*[(1/n)/m] + 1/n, na primeira vez,
        #1/n*[(1/n)/m] contunuará sendo acrescido
    #essa operação irá se repetir enquanto a variável termo
    #não alcançar a precisão estabelecida por eps

    for k in range(n_val):
        som_exp *= som_exp
        #(som_exp)^n = (1+1/n)^n
    
    getcontext().prec = precisao
    #redeterminando a precisão para o valor inicialmente estipulado
    som_exp += Decimal(0)
    #aplicando a precisão estipulada
    return som_exp

print(euler(200))
</syntaxhighlight>

==Ver também==
*[[Prova de irracionalidade do número de Euler]]

==Ligações externas==
*[https://web.archive.org/web/20150227095252/https://mathemathika.wordpress.com/2013/01/14/representacao-decimal-de-e/ Representação decimal de e] Mathemathika


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{{DISPLAYTITLE:{{mvar|e}} (constante matemática)}}
[[Categoria:Leonhard Euler]]
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