Mostrar código-fonte de Função (matemática)

{{mais notas|data=Janeiro de 2011}}
{{ver desambiguação|Função}}
[[Imagem:Function color example 3.svg|thumb|Uma função que associa cada uma das formas coloridas à sua cor.]]
Uma '''função''' é uma [[Relação (matemática)|relação]] de um [[conjunto]] <math display="inline">A</math> com um conjunto <math display="inline">B.</math> Usualmente, denotamos uma tal função por <math display="inline">f:A\to B,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> onde <math display="inline">f</math> é o nome da função, <math display="inline">A</math> é chamado de domínio, <math display="inline">B</math> é chamado de contradomínio e <math display="inline">y = f(x)</math> expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos <math display="inline">x\in A</math> com os elementos <math display="inline">y\in B.</math> Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: [[função trigonométrica]], [[função linear|função afim (ou função polinomial do 1° grau)]], [[função modular]], [[função quadrática]] (ou função polinomial do 2° grau), [[função exponencial]], [[função logarítmica]], [[função polinomial]], dentre inúmeras outras.<ref>STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.</ref><ref>FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.</ref><ref name=":0">{{citar livro|titulo=Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções|ultimo=Iezzi|primeiro=Gelson|editora=Atual|ano=1977|local=São Paulo|paginas=73-74A, 179A-180A|acessodata=}}</ref>

== Conceito ==
As funções são definidas por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma '''função''' é uma generalização da noção comum de [[fórmula|fórmula matemática]]. As funções descrevem [[Relação (matemática)|relações matemáticas]] especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento <math display="inline">x</math> (às vezes denominado ''variável independente'') um '''único''' valor da função <math display="inline">f(x)</math> (também conhecido como ''variável dependente''). Isto pode ser feito através de uma [[equação]], um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência, etc.. Muitas vezes, é útil associar cada par de elementos relacionados pela função com um ponto em um espaço adequado (por exemplo, no [[Espaço matemático|espaço]] <math display="inline">\mathbb{R}^2,</math> geometricamente representado no [[Sistema de coordenadas cartesiano|plano cartesiano]]). Neste caso, a exigência de unicidade da imagem (valor da função) implica um único ponto para cada entrada <math display="inline">x</math> (valor do argumento).<ref name=":0" /><ref name="stewart-02">STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.</ref><ref name="Ayres-03">FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.</ref>

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. De forma geral, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o [[contradomínio]] ou '''codomínio''' (conjunto de valores de saída), de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos <math display="inline">y</math> do contradomínio para os quais existe pelo menos um <math display="inline">x</math> no domínio tal que <math display="inline">y=f(x)</math> (i.e., <math display="inline">x</math> se relaciona com <math display="inline">y</math>), é o [[conjunto imagem]] ou chamado simplesmente de imagem da função.<ref name="Ayres-03" />

== Definição formal ==
Sejam dados os conjuntos <math display="inline">A,</math> <math display="inline">B,</math> uma relação <math display="inline">f:A\to B</math> e o conjunto dos pares ordenados <math display="inline">\mathbb{P} = \{(a,b)\in A\times B; a~\mbox{se relaciona com}~b~\mbox{por}~f\}.</math> Dizemos que <math display="inline">f</math> é uma função se, e somente se, para todos <math display="inline">b_1 \neq b_2\in B</math> com <math display="inline">(a_1, b_1), (a_2, b_2)\in \mathbb{P},</math> temos <math display="inline">a_1\neq a_2
.</math> Ou, em outras palavras, para todo <math display="inline">a\in A</math> existe no máximo um <math display="inline">b\in B
</math> tal que <math display="inline">a</math> se relaciona com <math display="inline">b.</math> <ref name=":0" /> Assim sendo, escrevemos <math display="inline">b = f(a)</math> quando <math display="inline">a</math> se relaciona com <math display="inline">b</math> por <math display="inline">f.</math> O conjunto <math display="inline">A</math> é chamado de conjunto de partida e <math display="inline">B</math> é chamado de contradomínio da função <math display="inline">f.</math>

Outra maneira de dizer isto é afirmar que <math display="inline">f</math> é uma [[relação binária]] entre os dois conjuntos tal que <math display="inline">f</math> é '''unívoca,''' i.e. se <math display="inline">b = f(a)</math> e <math display="inline">c = f(a),</math> então <math display="inline">b = c.</math> Algumas vezes, na definição de função, impõe-se que todo o elemento do conjunto <math display="inline">A</math> se relaciona com algum elemento de <math display="inline">B.</math>

=== Exemplos ===
Vejamos as seguintes relações <math display="inline">f:X\to Y:</math>
{|
|-
| [[Imagem:Naofuncao1.png|230px]]
| Esta  não é uma função, pois o elemento <math display="inline">3\in X</math> é associado (se relaciona) com dois elementos <math display="inline">Y,</math> a saber com <math display="inline">c,d\in Y.</math> Esta é, entretanto, um exemplo das chamadas [[função multivalorada|funções multivaloradas]].
|-
| [[Imagem:Naofuncao2.png|230px]]
| Este é um exemplo de uma função dita parcial ([[função parcial]]), pois há pelo menos um elemento no conjunto de partida, a saber <math display="inline">1\in X,</math> que não se relaciona com nenhum elemento do contradomínio (conjunto <math display="inline">Y</math>).
|-
| [[Imagem:Funcao venn.svg|230px]]
| Este é um exemplo de uma função dita discreta (veja, [[função discreta]]). Sua lei de correspondência pode ser escrita da seguinte forma:
<math display="block">f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.</math>
|}

== Exemplo de aplicação ==
Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo ([[Crescimento demográfico (equação diferencial)|modelos de crescimento demográfico]]). Por exemplo, denotando o tempo por <math>t</math> e o número de indivíduos em um dado tempo <math display="inline">t</math> por <math display="inline">y,</math> escrevemos <math display="inline">N:\mathbb{R}^+\to \mathbb{N},</math> <math display="inline">y = N(t).</math> Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como <math display="inline">N,</math> o conjunto de partida é o conjunto dos [[Número real|números reais]] não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos [[números naturais]] (assumindo que o número de indivíduos é sempre um [[número inteiro]] não negativo).
== Elementos de uma função ==
Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> onde <math display="inline">f</math> é o nome da função, <math display="inline">X</math> é seu conjunto de partida, <math display="inline">Y</math> é seu contradomínio e <math display="inline">y = f(x)</math> denota sua lei de correspondência.

Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradomínio. Aqueles que se relacionam são elementos do chamado [[Domínio (matemática)|domínio da função]]. Mais precisamente, o domínio de uma função <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> é o conjunto:<math display="block">Dom(f) := \{x\in X; \exists y\in Y ~ \mbox{com} ~ y = f(x)\}\subset X</math>Também, geralmente, nem todos os elementos do contradomínio se relacionam com algum elemento do conjunto de partida. Aqueles que se relacionam são elementos da chamada [[Imagem (matemática)|imagem da função]]. A imagem de uma função <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> é o conjunto:<math display="block">Im(f) := \{y\in Y; \exists x\in X ~\mbox{com} ~ y = f(x)\}\subset Y</math>

=== Exemplo ===
Seja <math display="inline">f:C\to CD,</math> <math display="inline">y = x^2,</math> onde o conjunto de partida é dada por <math display="inline">C = \{-3,-2,-1,0\}</math> e o contradomínio por<math display="inline">CD = \{0,1,2,\dotsc,9\}.</math> Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso, <math display="inline">Dom(f) = C</math> e <math display="inline">Im(f) = \{0,1,4,9\}.</math> Veja a ilustração.
[[Imagem:funcoes x2.svg|thumb|250px|Representação em diagrama de Venn da função <math display="inline">f:C\to CD,</math> <math display="inline">y = x^2.</math> A imagem de <math display="inline">f</math> está delineada por uma linha tracejada.]]

== Gráfico de uma função ==
[[Ficheiro:Graph of a function.svg|miniaturadaimagem|Esboço do gráfico de uma função arbitrária de uma variável com representação do par ordenado <math display="inline">(a,f(a)).</math>]]
{{Artigo principal|[[Gráfico#Gráficos de função|Gráficos de função]]}}
O gráfico de uma função <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> é o conjunto:<math display="block">Graf(f) := \{(x,y)\in X\times Y; y = f(x)\}</math>i.e, é o conjunto dos [[Par ordenado|pares ordenados]] <math display="inline">(x,y)</math> tal que <math display="inline">y = f(x).</math>

Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Tal representação é usualmente chamada de esboço do gráfico da função (ou, simplesmente gráfico, quando subentendido).

Popularmente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos <math display="inline">(x,f(x))</math> no plano cartesiano (veja a ilustração). Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de [[Abscissa|abcissas]] e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variáveis dependentes são chamadas de [[ordenada]]s e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).
== Classificação quando a imagem ==
Funções são usualmente classificadas quanto a sua imagem como: [[Função injectiva|funções injetoras]], [[Função sobrejectiva|funções sobrejetoras]] e [[Função bijectiva|funções bijetoras]].
Seja dada a função <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x).</math> Por definição, <math display="inline">f</math> é injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos <math display="inline">x_1\neq x_2 \in Dom(f)</math> temos <math display="inline">f(x_1)\neq f(x_2).</math> A função <math display="inline">f</math> é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando <math display="inline">Im(f) = Y.</math> Por fim, uma função injetora e sobrejetora é dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.
{| class="wikitable"
|-
! style="width: 70px;" | Tipo de função
! style="width: 250px;" | Característica da função
! style="width: 140px;" | Conjunto imagem
! Explicação visual
! style="width: 180px;" |Exemplo
! Admite [[função inversa]]? É inversível?
|-
| '''Injetora ou injetiva'''
| Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando ''<math>x</math> ≠ <math>y</math>'' no domínio tem-se ''<math>f(x)</math> ≠ <math>f(y)</math>'' no contradomínio.
| Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.
| [[Imagem:Funcao venn.svg|180px|center]]
| A função <math>f:</math> <math>N</math> <math>\rightarrow</math> <math>N</math> dada por ''<math>f(x)=2x</math>'', é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos.
| Nem sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
|-
| '''Sobrejetora ou sobrejetiva'''
| Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.
| O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
| [[Imagem:Surjection.svg|150px|center]]
| A função <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},</math> ''<math display="inline">f(x)=x</math>'', é sobrejetiva.
| Nem sempre, mas sempre admite inversa à direita.
|-
| '''Bijetora ou bijetiva'''
| São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.
| O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
| [[Imagem:Bijection.svg|150px|center]]
|  A função <math display="inline">f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},</math> ''<math>f(x)=x</math>'', é bijetiva.
| Sim.
|}

== Funções implícitas e explicitas ==
Dizemos que uma função <math display="inline">f:X\to Y</math> é definida de forma explícita (função explícita) quando seus valores <math display="inline">y</math> podem ser expressados pela variável independente <math display="inline">x,</math> i.e., quando temos uma relação da forma <math display="inline">y = f(x).</math> Por outro lado, dizemos que uma tal função é definida de forma implícita (função implícita) quando a relação entre as variáveis dependente e independente é dada como <math display="inline">F(x,y) = 0,</math> onde <math display="inline">F(x,y)</math> denota uma expressão envolvendo <math display="inline">x
</math> e <math display="inline">y.</math> <ref>{{citar livro|titulo=Handbook of Mathematics|ultimo=Bronshtein|primeiro=I.N.|editora=Springer|ano=2007|local=Berlin|paginas=120|acessodata=}}</ref>

==== Exemplo ====
Seja <math display="inline">G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> dada por <math display="inline">G(x,y) = xy.</math> Isto é, a função que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma função explícita. Agora, a equação <math display="inline">xy - 1 = 0,</math> define implicitamente a função <math display="inline">f:\mathbb{R^*}\to\mathbb{R}</math> que associa um número real não nulo <math display="inline">x</math> ao seu inverso. Ou seja, tal função <math display="inline">f</math> está, aqui, definida implicitamente por <math display="inline">F(x,y) := xy - 1 = 0.</math> Notamos que neste caso em particular, podemos definir a função <math display="inline">f</math> de forma explícita, escrevendo <math display="inline">f(x) = \frac{1}{x}.</math>

== Composição de funções ==
{{Artigo principal|[[Composição de funções]]}}
Dadas uma função <math display="inline">f:A\to B,</math> <math display="inline">y = f(x)</math> e uma função <math display="inline">g:C\to D,</math> <math display="inline">y = g(x)</math> com <math display="inline">Im(g)\subset Dom(f),</math> definimos a função composta de <math display="inline">f
</math> com <math display="inline">g</math> por <math display="inline">(f\circ g):C\to B,</math> <math display="inline">(f\circ g)(x) = f(g(x)).</math> Analogamente, quando <math display="inline">Im(f)\subset Dom(g)</math> também podemos definir a função composta de <math display="inline">g</math> com <math display="inline">f</math> dada por <math display="inline">(g\circ f):A\to D,</math> <math display="inline">(g\circ f)(x) = g(f(x)).</math> <ref name=":0" />

==== Exemplo ====
Considere as seguintes funções <math display="inline">f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> e <math display="inline">g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> dada por:

<math>f(x) = 2x + 3</math> e <math>g(x) = x - 1.</math>

Notamos que <math display="inline">Im(f)\subset Dom(g)</math> e, portanto, podemos definir a função composta <math display="inline">(g\circ f):\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>por:
<math display="block">(g\circ f)(x) = g(f(x)) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2.</math>
Também, como <math display="inline">Im(g)\subset Dom(f),</math> temos a composição <math display="inline">(f\circ g):\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> dada por:

<math>(f\circ g)(x) = f(g(x)) = 2(x-1) + 3 = 2x + 1.</math>

== Outras classificações ==
{{Anexo|Lista de funções matemáticas}}
Função são classificadas quanto a uma séries de propriedades (características) além das já mencionadas. Alguns desses tipos de funções são listados a seguir.
{{div col|3}}
* [[Função algébrica]]
* [[Função computável]]
* [[função côncava]]
* [[Função convexa]]
* [[Função contínua]]
* [[Função diferenciável]]
* [[Função holomorfa]]
* [[Função ímpar]]
* [[Função inteira]]
* [[Função integrável]]
* [[Função inversa]]
* [[Função linear]]
* [[Função meromorfa]]
* [[Função monótona]]
* [[Função par]]
* [[Função polinomial]]
* [[Função quadrática]]
* [[Função racional]]
* [[Função transcendental]]
* [[Função trigonométrica]]
* [[Função vetorial]]
{{div col end}}

== História ==
O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do [[Cálculo Diferencial e Integral|Cálculo]].<ref>"The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". ({{harvnb|Ponte |1992}})</ref><ref name="Kleiner 20092">{{citar livro||último =Kleiner|primeiro =Israel|capítulo=Evolution of the Function Concept: A Brief Survey|editor1=Marlow Anderson|editor2=Victor Katz|editor3=Robin Wilson|título=Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History|url=http://books.google.com/books?id=WwFMjsym9JwC&pg=PA15|ano=2009|publicado=MAA|isbn=978-0-88385-569-0|páginas=14–26}}</ref> O termo "função" foi introduzido por [[Gottfried Leibniz]] em uma de suas cartas, datada de 1673,  na qual ele descreve a [[declividade]] de uma curva em um ponto específico.<ref name=":02">Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" ({{harvnb|Eves |1990 |p=234}}).</ref> Na antiguidade, embora não se conheça o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como [[Nicole d'Oresme|Oresme]].<ref>"...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." ({{harvnb|Medvedev|1991|pages=29–30}})</ref>

Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por [[Expressão matemática|expressões analíticas]].<ref name="Bourbaki20032">{{citar livro|autor =N. Bourbaki|título=Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory|url=http://books.google.com/books?id=dtYLvM02cRYC&pg=PA154|data=18 de setembro de 2003|publicado=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-65340-0|páginas=154–}}</ref> Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da [[Análise matemática|Análise Matemática]] por [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] e outros, a reformulação da [[Geometria]] em termos da análise e a invenção da [[Teoria dos conjuntos|Teoria dos Conjuntos]] por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos [[Nikolai Lobachevsky]], [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] e [[Dedekind]].<ref name=":12">"On the vanishing of trigonometric series," 1834 ({{harvnb| Lobachevsky |1951 |pages=31–80}}).</ref><ref name=":22">Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 ({{harvnb|Dirichlet|1889|pages=135–160}}).</ref><ref name=":32">"By a mapping φ of a set ''S'' we understand a law that assigns to each element ''s'' of ''S'' a uniquely determined object called the ''image'' of ''s'', denoted as φ(''s''). {{harvnb| Dedekind  |1995|page=9}}</ref>

== Ver também ==
*[[Cálculo Diferencial e Integral|Cálculo diferencial e integral]]
*[[Funcional]]
*[[Função generalizada]]
*[[Funtor]]

{{Referências}}

=== Bibliografia ===
*Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). ''[[Análise matemática]] para licenciatura''. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0371-3.
*Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). ''Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise''. Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0.
*Iezzi, G; Murakami, C.. (2013). ''Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções''. vol. 1, 9. ed., Atual Editora:São Paulo. ISBN 9788535716801.

== Ligações externas ==
*[http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/fun_graf.htm Funções e Gráficos: um curso introdutório da UFRGS]
*[http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_walter/oficinas/Oficina022005.pdf Relações e Funções]
*[http://math.tecnico.ulisboa.pt/textos/ppgmutlfuncoes.pdf Explicação de funções em 19 páginas pelo Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa]

{{Funções}}
{{Análise}}

{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Funções matemáticas]]