Mostrar código-fonte de Função W de Lambert

A '''função W de Lambert''', devida ao matemático suíço [[Johann Heinrich Lambert]], é a [[função transcendental]] que resolve a equação em ''y'':
: <math>y e^y = x\,</math>
Ou seja, se ''y = W(x)'', então ''y'' resolve ''y e<sup>y</sup> = x''.

A função W de Lambert pode ser vista como a [[função inversa]] de <math>f(y)=ye^y\,</math>, uma função decrescente para <math>y<-1\,</math> e crescente para <math>y>-1\,</math>. O mínimo global de ''f'' é dado por <math>f(-1)=-1/e\,</math>. Por esta razão <math>W\,</math> é uma [[função multivalorada]], mas pode ser definida univocamente como uma função real no intervalo <math>(-1/e,\infty)\,</math>.

== História ==
Lambert primeiro considerou a ''Equação Transcendental de Lambert'' in 1758<ref>Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", ''Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica'', Band III, 128-168, 1758 ([http://www.kuttaka.org/~JHL/L1758c.pdf facsimile])</ref> e isto levou a um artigo de [[Leonhard Euler]] em 1783<ref>Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." ''Acta Acad. Scient. Petropol. 2'', 29-51, 1783. Reprinted in Euler, L. ''Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae''. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350-369, 1921. ([http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf facsimile])</ref> que discutia o caso especial ''we<sup>w</sup>''. A função inversa de ''we<sup>w</sup>'' foi primeiro descrita por [[George Pólya|Pólya]] e [[Gábor Szegő|Szegö]] em 1925.<ref>[[George Pólya|Pólya G]] und [[Gábor Szegő|Szegö G]], 1925, ''Aufgaben und Lehrsätze der Analysis'' (Springer, Berlin)</ref>  função Lambert foi "redescoberto" por dez anos em aplicações especializadas, mas sua importância não é muito apreciado até a década de 1990. Quando foi anunciado que a função W de Lambert deu uma solução exata para os autovalores de energia do sistema quântico correspondente ao modelo descrito pelo operador de Dirac para duplicar e, no caso da igualdade de encargos - um problema de física fundamental - e Corless desenvolvedores de outros sistemas [[Maple]] fez uma pesquisa bibliográfica e descobriu que esta função está em toda parte em aplicações práticas.<ref>R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare e D.J. Jeffrey, ''Lambert's W function in Maple'', The Maple Technical Newsletter (MapleTech), '''9''', pp. 12-22, (1993).</ref>

== Diferenciação e integração ==

Por diferenciação implícita, é que ''W'' satisfaz a [[equação diferencial ordinária]].

:<math>z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\quad\mathrm{para\ }z\neq -1/e \,,</math>

portanto:

:<math>\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))}\quad\mathrm{para\ }z\neq -1/e \,.</math>

A função ''W'' (''x''), e algumas expressões envolvendo ''W''(''x'') pode ser [[Integral|integrada]] com a regra de substituição ''w'' = ''W''(''x''),  ou seja, ''x'' = ''w'' e<sup>''w''</sup>:

:<math>\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C</math>

== Série de Taylor ==

A [[série de Taylor]] de ''W''<sub>0</sub> em torno de 0 pode ser resolvido pelo teorema de inversão de Lagrange, que é derivada de:
:<math> W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots </math>
O [[raio de convergência]] é de 1/''e'', como mostrado pelo [[Teste da razão|critério de d'Alembert]]. A função definida pela série pode ser estendida a uma [[função holomorfa]] definida para todos os números complexos, com um corte de ramo no [[Intervalo (matemática)|intervalo]] (−∞, -1/''e''<nowiki>]</nowiki>; a função holomorfa definida acima do ramo principal da função ''W'' de Lambert.

==Generalizações==

O padrão Lambert W funçãoi expressa soluções exatas ''transcendentais'' equações '' algébricas'' (em ''x'') da forma:

:<math> e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)</math>

onde ''a''<sub>0</sub>, ''c'' e ''R'' são constantes reais.  A  solução é  <math>x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c</math>.  Generalizações da função ''W'' de Lambert<ref>Scott T.C. e Mann R.B., ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (avril 2006), pp.41-47, [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM]; artigo Arxiv [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011]</ref><ref>T.C. Scott, G. Fee e J. Grotendorst, [http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function"], SIGSAM, vol. 47, no. 3, (setembro 2013), pp. 75-83</ref><ref>T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst e W.Z. Zhang, [http://www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html "Numerics of the Generalized Lambert W Function"], SIGSAM, vol. 48, no. 2, (junho 2014), pp. 42-56</ref> incluem:

*Umas aplicaçãoi para a [[relatividade geral]] ea [[mecânica quântica]] ([[gravitação quântica]]) em dimensões inferiores, na verdade um ''link'' anteriormente desconhecido (desconhecido antes do papel 2007 por Farrugia, Mann e Scott<ref>Farrugia P.S, Mann R.B. e Scott T.C., ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation'', Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18]; artigo Arxiv [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2]</ref>) entre estas duas áreas, onde a mão-direita dos lados de (1) é agora um polinomial quadrática em ''x'':

::<math> e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)</math>

:e em que ''r''<sub>1</sub> e ''r''<sub>2</sub> são reais constantes de distintas, as [[Raiz (matemática)|raízes]] do polinômio quadrático.  Aqui, a solução é uma função tem um argumento ''x'' único, mas como os termos e ''r''<sub>i</sub>  e ''a''<sub>o</sub> são parâmetros dessa função.  A este respeito, a generalização assemelha a hipergeométrica função ea função Meijer-G mas que pertence a uma classe diferente de funções. Quando ''r''<sub>1</sub> = ''r''<sub>2</sub> ambos os lados da (2) pode ser tomada e reduzido a (1) e, portanto, reduz-se a solução a que a função de W padrão. Eq. (2) expressa a equação que rege a [[Áxion|Dilaton]] campo, a partir da qual é derivada a métrica do [[Gravidade de Jackiw-Teitelboim|R = T]] ou linear de dois corpos problema gravidade em 1 +1 dimensões (uma dimensão espacial e uma dimensão temporal) para o caso de desigualdade (resto massas), bem como, os eigenenergies da mecânica quântica dupla bem Dirac modelo função delta de taxas desiguais em uma dimensão.

* Soluções analíticas das eigenenergies de um caso especial da mecânica quântica [[Problema de Euler dos três corpos|problema dos três corpos]], ou seja, o [[íon molecular de hidrogênio]] (três dimensões).<ref>Scott T.C., Aubert-Frécon M. e Grotendorst J., ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion'',  Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14]; artigo Arxiv [http://arxiv.org/abs/physics/0607081]</ref>  Aqui, o lado direito de (1) (ou (2)) agora é uma razão de polinômios ordem infinita em ''x'':

::<math> e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)</math>

:onde ''r''<sub>i</sub> e ''s''<sub>i</sub> são distintos constantes reais e x é uma função da distância e da eigenenergy internuclear R. Eq. (3) com os seus casos especializados expressa em (1) e (2) está relacionado com uma classe grande de equações diferenciais de atraso.  Graças a noção de [[Godfrey Harold Hardy |Hardy]] de um "derivativo de falso", exato varias raizes foram encontrados para casos especiais de equação (3).<ref>Aude Maignan e T.C. Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W function", SIGSAM, vol. 50, no. 2, (junho 2016), pp. 45-60</ref>

As aplicações função ''W'' de Lambert de problemas físicos fundamentais não se esgotam, mesmo para o caso padrão expressa em (1), como visto recentemente na área da  física atómica, molecular, e ópticos.<ref>Scott T.C. , Lüchow A., Bressanini D. e Morgan III J.D., ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions'', [[Physical Review|Phys. Rev. A]] 75, (2007), p. 060101, [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes]</ref>

{{referências}}

[[Categoria:Funções matemáticas|W de Lambert, funcao]]