Mostrar código-fonte de Função sinc

Em [[matemática]], a '''função sinc''', o termo "sinc" é uma contração do nome da função em [[latim]] ''sinus cardinalis'' (seno cardinal), denotada por <math>\operatorname{sinc} (x)</math> e às vezes como <math>Sa (x)</math>, tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a '''função sinc normalizada''' é comumente definida por:<ref>Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), '''Numerical methods''', NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248 {{en}}</ref>

:<math>\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.\,\!</math>

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os <math>x</math> é <math>1</math>. A [[transformada de Fourier]] da função sinc normalizada é a [[função retangular]] sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.<ref>M. J. Roberts, '''Fundamentos de Sinais e Sistemas''', McGraw Hill Brasil ISBN 8-563-30857-2</ref>

Em matemática, a '''função sinc não-normalizada''' historicamente é definida por<ref>Alfredo Julio Fernandes Neto, Flávio Domingues das Neves, Paulo Cézar Simamoto Junior, '''Fundamentos de Circuitos Elétricos''' - 5ed , AMGH Editora, 2013 ISBN 8-580-55173-0</ref>

:<math>\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.\,\!</math>

A única diferença entre as duas definições está na escala da [[variável independente]] (o [[Sistema de coordenadas cartesiano|eixo x]]) por um fator de [[pi|π]]. Em ambos os casos, o valor da função na [[singularidade removível]] em zero é entendido como o valor [[limite]] <math>1</math>. A função sinc é [[função analítica|analítica]] em toda parte.

== Propriedades ==

[[Image:Sinc function (both).svg|thumb|350px|right|A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de <math>x = -6\pi~a~6\pi</math>.]]

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de <math>\pi</math>; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, <math>\frac{\sen(\xi)}{\xi} = \cos(\xi)</math> para todos os <math>\xi</math> onde a derivada de <math>\frac{\sen(x)}{x}</math> é nula  (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o [[produtório]] infinito

:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!</math>

e está relacionada à [[função gama]] <math>\Gamma(x)</math> pela [[fórmula de reflexão de Euler]]:

:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}.\,\!</math>

[[Euler]] descobriu que<ref>Euler, Leonhard, '''On the sums of series of reciprocals''' {{bibcode|2005math......6415E}} {{en}}</ref>

:<math>\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).</math>

A [[transformada de Fourier]] contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é [[função retangular|rect]](<math>f</math>),

:<math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f),\,\!</math>

onde a [[função retangular]] é <math>1</math> para argumentos entre <math>-\tfrac{1}{2}~e~\tfrac{1}{2}</math>, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o [[filtro sinc]] é o [[filtro passa-baixa]] ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1\,\!</math>

é uma [[integral imprópria]] e não uma [[integral de Lebesgue]] convergente como

:<math>\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty.</math>

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

* É uma função de interpolação, ou seja, <math>\operatorname{sinc}(0) = 1</math>, e <math>\operatorname{sinc}(k) = 0</math> para <math>k</math> inteiros e não-nulos.
* As funções <math>x_k(t) = \operatorname{sinc}(t-k)</math> formam uma [[base ortonormal]] para as funções limitadas em banda no espaço de funções <math>L^2(R)</math>, cuja maior frequência angular é <math>\omega_H = \pi</math> (isto é, o ciclo de frequência mais alto é <math>f_H = \tfrac{1}{2}</math>).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

* O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da [[função de Bessel]] esférica de primeiro tipo, <math>j_0(x)</math>.  O sinc normalizado é <math>j_0(\pi x)</math> .

* <math> \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x) \,\!</math>
:onde <math>Si(x)</math> é o [[seno integral]].

* <math>\lambda \cdot \operatorname{sinc}(\lambda x)</math> (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da [[equação diferencial ordinária|EDO]] linear
::<math>x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!</math>
:A outra solução é <math>\frac{\cos(\lambda  x)}{x}</math>, que diverge em <math>x = 0</math>, ao contrário da função sinc.

* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \rightarrow \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1. </math>

onde o sinc normalizado é significativo.

* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!</math>

* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} \,\!</math>

==Ver também==

{{div col}}
* [[Integral de Borwein]]
* [[Integral de Dirichlet]]
* [[Função de Dirichlet]]
* [[Aliasing]]
* [[Filtro sinc]]
* [[Reamostragem de Lanczos]]
* [[Interpolação de Whittaker–Shannon]]
* [[Função suave]]
* [[Processamento de sinal]]
* [[Constante de normalização]]
* [[Integral]]
* [[Função retangular]]
* [[Variáveis dependentes e independentes]]
* [[Sistema de coordenadas cartesiano]]
* [[Singularidade removível]]
* [[Função analítica]]
* [[Função gama]]
* [[Filtro passa-baixo]]
* [[Integral imprópria]]
* [[Integral de Lebesgue]]
* [[Interpolação]]
* [[Amostragem de sinal]]
* [[Base ortonormal]]
* [[Espaço Lp]]
* [[Função de Bessel]]
* [[Equação diferencial ordinária]]
* [[Delta de Dirac]]
* [[Função indicadora]]
{{div col end}}

{{Referências}}
* {{Tradução/ref|en|Sinc function|oldid=http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function}}

==Ligações externas==

*{{MathWorld|title=Sinc Function|urlname=SincFunction}}

{{Portal-Matemática}}
{{Portal3|Matemática}}
{{esboço-matemática}}
{{DEFAULTSORT:Função sinc}}
[[Categoria:Processamento de sinais]]
[[Categoria:Funções matemáticas]]