Mostrar código-fonte de Identidades do cálculo vetorial

As [[Identidade (matemática)|identidades]] a seguir são relevantes para o [[Cálculo Vetorial]]:

== Notação de Operadores ==

=== Gradiente ===
{{Artigo principal|Gradiente}}

No [[Sistema de coordenadas cartesiano]] em três dimensões, o gradiente de alguma função <math>f(x,y,z)</math> é dado por:

: <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +
\frac{\partial f}{\partial y}  \mathbf{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math>

onde '''i''', '''j''', '''k''' são os vetores de uma [[Base ortonormal]].

O gradiente de um [[campo tensorial]], <math>\mathbf{A}</math>, de ordem ''n'' é geralmente escrito como :
 <math>\operatorname{grad}(\mathbf{A}) = \nabla \mathbf{A} </math>

e é um campo tensorial de ordem {{nowrap|''n'' + 1}}. Em particular, se o campo tensorial tem ordem 0, como por exemplo um campo escalar <math>\psi</math>, o gradiente resultante,

: <math>\operatorname{grad}(\psi) = \nabla \psi</math>

é um [[campo vetorial]].

=== Divergente ===
{{Artigo principal|Divergência}}

No espaço cartesiano tridimensional, a divergência de uma [[campo vetorial]] continuamente diferenciável <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> é definida como a função [[Grandeza escalar|escalar]]:

: <math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
 = \left(
\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
\right)
\cdot (F_x,F_y,F_z)
 = \frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
</math>

A divergência de um [[campo tensorial]], <math>\mathbf{A}</math>, de ordem não nula ''n'', é geralmente escrita como

: <math>\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \nabla \cdot \mathbf{A}</math>

e é uma contração para um tensor de ordem {{nowrap|''n'' − 1}}. Especificamente, a divergência de um vetor é um escalar. A divergência de um campo tensorial de ordem superor pode ser encontrada decompondo-se o campo tensorial na soma dos produtos externos, assim permitindo o uso da identidade,

: <math>\nabla \cdot (\mathbf{B} \otimes \hat{\mathbf{A}}) = \hat{\mathbf{A}}(\nabla \cdot \mathbf{B})+(\mathbf{B}\cdot \nabla) \hat{\mathbf{A}}</math>

onde <math> \mathbf{B}\cdot\nabla </math> é a derivada direcional na direção <math> \mathbf{B} </math> multiplicada pela sua magnitude. Especificamente, para o produto externo de dois vetores,

: <math>\nabla \cdot (\mathbf{a} \mathbf{b}^\mathrm{T}) = \mathbf{b}(\nabla \cdot \mathbf{a})+(\mathbf{a}\cdot \nabla) \mathbf{b} \ .</math>

=== Rotacional ===
{{Artigo principal|Rotacional}}

Em [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]], para <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math>:

: <math>rot(\mathbf{F})</math> = <math> \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>


: <math>\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>

onde '''i''', '''j''', and '''k''' são os [[Vetor unitário|vetores unitários]] para os eixos ''x''-, ''y''-, e ''z''- , respectivamente.


Para um [[campo vetorial]] tridimensional <math> \mathbf{v} </math>, o rotacional também é um campo vetorial tridimensional, normalmente escrito como:
: <math> \nabla \times \mathbf{v}</math>

ou na [[Notação de Einstein]] como:

: <math> \varepsilon^{ijk} \frac {\partial v_k}{\partial x^j}</math>

onde &#x3B5; é o [[Símbolo de Levi-Civita]].

=== Laplaciano ===
{{Artigo principal|Laplaciano}}


Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função <math>f(x,y,z)</math> é

: <math>
\Delta f = \nabla^2 f = (\nabla \cdot \nabla) f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
</math>

Para um [[campo tensorial]], <math> \mathbf{A} </math>, o laplaciano é geralmente escrito como:

: <math>\Delta\mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{A}</math>

e é um campo tensorial de mesma ordem.

=== Notações especiais===
Na ''Notação de Feynman'',
: <math> \nabla_\mathbf{B} \left( \mathbf{A \cdot B} \right)\ =\ \mathbf{A} \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) \ +\ \left( \mathbf{A} \cdot \nabla \right) \mathbf{B} </math>

onde a notação ∇<sub>'''B'''</sub>  significa que o gradiente subscrito opera somente no fator '''B'''.<ref name="Feynman">{{citar livro|primeiro1 =R. P.|último1 =Feynman|primeiro2 =R. B.|último2 =Leighton|primeiro3 =M.|último3 =Sands|título=The Feynman Lectures on Physics|publicado=Addison-Wesley|ano=1964|isbn=0-8053-9049-9|nopp=true|páginas=Vol II, p. 27–4}}</ref><ref name="Missevitch">{{citar arXiv|<!--page=4--> |eprint=physics/0504223|primeiro1 =A. L.|último1 =Kholmetskii|primeiro2 =O. V.|último2 =Missevitch|título=The Faraday induction law in relativity theory|ano=2005|class=physics.class-ph}}</ref>

Uma ideia semelhante mas menos geral é utilizada na [[álgebra geométrica]], onde a notação de sobreponto Hestenes é utilizada.<ref name="Doran">{{citar livro|primeiro1 =C.|último1 =Doran|authorlink1=Chris J. L. Doran|primeiro2 =A.|último2 =Lasenby|título=Geometric algebra for physicists|ano=2003|publicado=Cambridge University Press|página=169|isbn=978-0-521-71595-9}}</ref> A identidade acima é então expressada como:

: <math> \dot{\nabla} \left( \mathbf{A} \cdot \dot{\mathbf{B}} \right)\ =\ \mathbf{A} \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right)\ +\ \left( \mathbf{A} \cdot \nabla \right) \mathbf{B} </math>

onde o sobreponto define o escopo da derivada vetorial. O vetor com sobreponto, neste caso '''B''', é diferenciado, enquanto o '''A''', sem ponto, é mantido constante.

Pelo resto deste artigo, a notação subscrita de Feynman será usada onde for apropriado.

== Propriedades ==

=== Propriedades distributivas ===

: <math> \nabla ( \psi + \phi ) = \nabla \psi + \nabla \phi </math>

: <math> \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} </math>

: <math> \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} </math>

=== Regra do Produto para o Gradiente ===
O gradiente do produto de dois campos escalares  <math>\psi</math> and <math>\phi</math> segue a mesma forma da [[regra do produto]] no [[cálculo]] de variável simples.
: <math> \nabla (\psi \, \phi) = \phi \,\nabla \psi  + \psi \,\nabla \phi </math>

=== Produto de um Escalar e um Vetor ===
: <math> \nabla \cdot ( \psi \mathbf{A} ) = \psi\ ( \nabla \cdot \mathbf{A}) \ +\  \mathbf{A}\cdot (\nabla \psi) </math>

: <math> \nabla \times ( \psi \mathbf{A} ) = \psi\ ( \nabla \times \mathbf{A}) \ +\ ( \nabla \psi ) \times \mathbf{A} </math>

=== Regra do Quociente ===
: <math> \nabla\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\nabla f - (\nabla g)f}{g^2}</math>
: <math> \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{A}}{g}\right) = \frac{g \nabla \cdot \mathbf{A} - (\nabla g) \cdot \mathbf{A}}{g^2}</math>
: <math> \nabla \times \left(\frac{\mathbf{A}}{g}\right) = \frac{g \nabla \times \mathbf{A} - (\nabla g) \times \mathbf{A}}{g^2}</math>

=== Regra da Cadeia ===
: <math>\nabla(f \circ g) = (f' \circ g) \nabla g</math>
: <math>\nabla(f \circ \mathbf{A}) = (\nabla f \circ \mathbf{A}) \nabla \mathbf{A}</math>
: <math>\nabla \cdot (\mathbf{A} \circ f) = (\mathbf{A}' \circ f) \cdot \nabla f</math>
: <math>\nabla \times (\mathbf{A} \circ f) = -(\mathbf{A}' \circ f) \times \nabla f</math>

=== Produto Escalar ou Produto Vetorial Interno===

: <math>\begin{align}
\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})
&= \mathbf{J}^\mathrm{T}_\mathbf{A} \mathbf{B} + \mathbf{J}^\mathrm{T}_\mathbf{B} \mathbf{A} \\
&= (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) \ .
\end{align}</math>

onde {{math|'''J'''<sub>'''A'''</sub>}} denota o [[Matriz jacobiana|Jacobiano]] de {{math|'''A'''}}.

Alternativamente, usando notação subscrita de Feynman,

: <math> \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \nabla_\mathbf{A}(\mathbf{A}  \cdot \mathbf{B}) +  \nabla_\mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \ . </math>

Como um caso especial, quando {{math|'''A''' {{=}} '''B'''}},
: <math>\begin{align}
\frac{1}{2} \nabla \left( \mathbf{A}\cdot\mathbf{A} \right)
&= \mathbf{J}^\mathrm{T}_\mathbf{A} \mathbf A \\
&= (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) \ .
\end{align}</math>

=== Produto Vetorial ===

: <math> \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})\ =\ (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) </math>

: <math> \begin{align}\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) &\ =\ \mathbf{A}\ (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}\ (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} \\
&\ =\ (\nabla \cdot \mathbf{B}  + \mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} -(\nabla \cdot \mathbf{A} + \mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{B} \\
&\ =\ \nabla \cdot (\mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T}) - \nabla \cdot (\mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T})  \\
&\ =\ \nabla \cdot (\mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T} - \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T}) \end{align} </math>

== Derivações Segundas ==

=== Rotacional do Gradiente ===

O [[rotacional]] do [[gradiente]] de ''qualquer'' [[Campo escalar]] contínuo duplamente diferenciável é sempre o [[Vector nulo|vetor nulo]].

: <math>\nabla \times ( \nabla \phi )  = \mathbf{0}</math>

=== Divergente do Rotacional ===
O [[Divergência|divergente]] do rotacional de ''qualquer [[campo vetorial]] '''A''' (cujas componentes são funções que admitem a segunda derivada, sendo a última uma função contínua) é sempre zero:''
: <math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 </math>

=== Divergente do Gradiente ===
O [[Laplaciano]] de um campo escalar é o divergente do seu gradiente:
: <math> \nabla^2 \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) </math>

O resultado é um valor escalar.

=== Rotacional do Rotacional ===
: <math> \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}</math>
Aqui,∇<sup>2</sup> é o vetor Laplaciano operando no campo vetorial '''A'''.

== Sumário de Identidades Importantes ==

=== Adição e Multiplicação ===
* <math> \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A} </math>
* <math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} </math>
* <math> \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A} </math>
* <math> \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}
  =\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} </math>
* <math> \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}
  =\mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C} </math>
* <math> \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)
  =\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)
  =\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)</math> ([[Produto triplo]])
* <math> \mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)
  =\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{C} </math> ([[Produto triplo]])
* <math> \left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}
  =\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{A} </math> ([[Produto triplo]])
* <math> \mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)
  =\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}\ +\ \mathbf{B}\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{C}\right) </math> ([[Identidade de Jacobi]])
* <math> \mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\ +\ \mathbf{C}\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ +\ \mathbf{B}\times\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)
  = 0 </math>  ([[Identidade de Jacobi]])
* <math> \left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right) </math>	
* <math>
\left(\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\right)\mathbf{D}=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{C}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right) </math>
* <math>
\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\times\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)
=\left(\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{D}\right)\right)\mathbf{C}-\left(\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\right)\mathbf{D}</math>

=== Diferenciação ===

==== Gradiente ====
* <math> \nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi </math>
* <math> \nabla (\psi \, \phi) = \phi \,\nabla \psi  + \psi \,\nabla \phi </math>
* <math> \nabla\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B}+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times\left(\nabla\times\mathbf{B}\right)+\mathbf{B}\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right) </math>

==== Divergente ====
* <math> \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ =\ \nabla\cdot\mathbf{A}\,+\,\nabla\cdot\mathbf{B} </math>
* <math> \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)\ =\ \psi\,\nabla\cdot\mathbf{A}\,+\,\mathbf{A}\cdot\nabla \psi </math>
* <math> \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ =\ \mathbf{B}\cdot (\nabla\times\mathbf{A})\,-\,\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) </math>

==== Rotacional ====
* <math> \nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ =\ \nabla\times\mathbf{A}\,+\,\nabla\times\mathbf{B} </math>
* <math> \nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)\ =\ \psi\,\nabla\times\mathbf{A}\,+\,\nabla\psi\times\mathbf{A}</math>
* <math> \nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ =\ \mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)\,-\,\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)\,+\,\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}\,-\,\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} </math>

==== Derivações Segundas ====
[[Ficheiro:DCG_chart.svg|direita|miniaturadaimagem|300x300px|DCG chart:
Um mapa demonstrando todas as regras pertinentes as segundas derivações.
D, C, G, L e CC representam, respectivamente, divergente, rotacional, gradiente, Laplaciano e rotacional do rotacional.
As setas indicam a existência de segundas derivações. O círculo azul no centro representa o rotacional do rotacional, enquanto os outros dois círculo vermelhos tracejados significam que divergente do divergente e gradiente do gradiente não existem.
]]

* <math> \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 </math>
* <math> \nabla\times(\nabla\psi)= \mathbf{0} </math>
* <math> \nabla\cdot(\nabla\psi)=\nabla^{2}\psi </math>        ([[Laplaciano|Laplaciano escalar]])
* <math> \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)=\nabla^{2}\mathbf{A} </math>   ([[Laplaciano|Laplaciano vetorial]])
* <math> \nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\phi\nabla^{2}\psi + \nabla\phi\cdot\nabla\psi </math>
* <math> \psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi= \nabla\cdot\left(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi\right)</math>
* <math> \nabla^2(\phi\psi)=\phi\nabla^2\psi+2\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\psi\nabla^2\phi</math>
* <math> \nabla^2(\psi\mathbf{A})=\mathbf{A}\nabla^2\psi+2(\nabla\psi\cdot\nabla)\mathbf{A}+\psi\nabla^2\mathbf{A}</math>
* <math> \nabla^2(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})= \mathbf{A}\cdot\nabla^2\mathbf{B} - \mathbf{B}\cdot\nabla^2\mathbf{A} + 2\nabla\cdot((\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A} + \mathbf{B}\times\nabla\times\mathbf{A})</math> ([[Identidades de Green|Identidade vetorial de Green]])

==== Derivações Terceiras ====
* <math>\nabla^{2}(\nabla\psi) = \nabla(\nabla\cdot(\nabla\psi)) = \nabla(\nabla^{2}\psi)</math>
* <math> \nabla^{2}(\nabla\cdot\mathbf{A}) = \nabla\cdot(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})) =\nabla\cdot(\nabla^{2}\mathbf{A})</math>
* <math> \nabla^{2}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})) = \nabla\times(\nabla^{2}\mathbf{A})</math>

=== Integração ===
Abaixo, o símbolo ∂ significa "[[Fronteira (matemática)|contorno de]]".

==== Integrais de Superfície-volume ====
Nos teoremas de integral de superfície-volume, ''V'' denota o volume tridimensional correspondente ao contorno bidimensional ''S'' = ∂''V'' (uma superfície fechada):

*     <math>\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,</math><math>\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_V \left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right)dV </math> ([[Teorema da divergência]])
*     <math>\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,</math><math>\psi d \mathbf{S} = \iiint_V \nabla \psi\, dV</math>
*     <math>\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,</math><math>\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)dS=\iiint _{V}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)dV</math>
*     <math>\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,</math><math>\psi\left(\nabla\varphi\cdot\hat{\mathbf{n}}\right)dS = \iiint _{V}\left(\psi\nabla^{2}\varphi+\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\right)dV</math> ([[Identidades de Green|Primeira Identidade de Green]])
*     <math>\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,</math><math>\left[\left(\psi\nabla\varphi-\varphi\nabla\psi\right)\cdot\hat{\mathbf{n}}\right]dS=G</math>
<math>  G=\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,</math><math>\left[\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right]dS</math> <math>\displaystyle=\iiint_{V}\left(\psi\nabla^{2}\varphi-\varphi\nabla^{2}\psi\right)dV</math> ([[Identidades de Green|Segunda Identidade de Green]])

==== Integrais de Curva-Superfície ====
Nos teoremas de integral de curva-superfície a seguir ''S'' denta uma superfície bidimensional aberta com contorno correspondente ''C'' = ∂''S'' (uma curva fechada):

* <math> \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{s} </math> {{pad|2em}} ([[Teorema de Stokes]])
* <math> \oint_{\partial S}\psi d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\nabla\psi\right)dS </math>

Integração ao redor de uma curva fechada no [[Sentido dos ponteiros do relógio|sentido horário]] é o negativo da mesma integral de linha no sentido anti-horário, o que é análogo a mudar a inverter os limites em uma [[Integral|integral definida]].

== Referências ==
{{reflist}}

== Leitura Adicional ==
{{Refbegin}}
* {{citar livro|título=Advanced Engineering Electromagnetics|primeiro =Constantine A.|último =Balanis|isbn=0-471-62194-3}}
* {{citar livro|primeiro =H. M.|último =Schey|título=Div Grad Curl and all that:  An informal text on vector calculus|publicado=W. W. Norton & Company|ano=1997|isbn=0-393-96997-5}}
* {{citar livro|primeiro =David J.|último =Griffiths|título=Introduction to Electrodynamics|publicado=Prentice Hall|ano=1999|isbn=0-13-805326-X}}
{{Refend}}


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