Mostrar código-fonte de Integral de Lebesgue

[[Imagem:Integral-area-under-curve.png|thumb|A integral de uma função positiva pode ser interpretada como a área sob a curva de um gráfico.]]
A '''integral de Lebesgue''' é, na [[matemática]], uma generalização da [[integral de Riemann]]. Originalmente definida para funções <math>f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}</math>, a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos [[teorema da convergência monótona]], [[teorema da convergência dominada]] e do [[lema de Fatou]] usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num [[espaço de medida]] assumindo valores [[número real|reais]] ou [[número complexo|complexos]], ou mesmo, em um [[espaço de Banach]] geral.<ref>{{Citar web|titulo=La integral de Lebesgue|url=https://cafematematico.wordpress.com/2011/01/07/la-integral-de-lebesgue/|obra=Café Matemático|data=2011-01-07|acessodata=2019-03-14|lingua=es-ES|primeiro=Miguel|ultimo=Lacruz}}</ref><ref>{{Citar web|titulo=Lebesgue integral - Encyclopedia of Mathematics|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lebesgue_integral|obra=www.encyclopediaofmath.org|acessodata=2019-03-14}}</ref><ref>{{Citar periódico|ultimo=Bogdanowicz|primeiro=Witold M.|data=1965-03|titulo=A GENERALIZATION OF THE LEBESGUE-BOCHNER-STIELTJES INTEGRAL AND A NEW APPROACH TO THE THEORY OF INTEGRATION*|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC336964/|jornal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=53|numero=3|paginas=492–498|issn=0027-8424|pmid=16591263}}</ref>

==Construção==
Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então, <math>\left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\,</math> um [[espaço de medida]].

===Funções simples=== 

Seja <math>\phi:E\to[-\infty,+\infty]\,</math> uma [[função simples]]:
:<math>\phi(x)=\sum_{k=1}^n\alpha_k \Chi_{E_k}(x)\,</math>

Diz-se que <math>\phi(x)\,</math> é '''Lebesgue integrável''' em <math>E\,</math> se:
:<math>\sum_{k=1}^n|\alpha_k| \mu(E_k) <\infty\,</math> ficando bem convencionado que <math>+\infty\cdot 0=-\infty\cdot 0= 0\cdot+\infty=0\cdot-\infty=0\,</math>
neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de <math>\phi(x)\,</math> como:
:<math>\int_E\phi(x)d\mu=\sum_{k=1}^n\alpha_k \mu(E_k)\,</math>

===Funções positivas===
Seja <math>f:E\to[0,+\infty]\,</math> uma [[função mensurável]], define-se a integral de Lebesgue de <math>f(x)\,</math> em <math>E\,</math> como:
:<math>\int_Ef(x)d\mu = \sup_{\phi(x)\leq f(x)}\int_E \phi(x)d\mu\,</math>, onde <math>\phi(x)\,</math> é uma função simples.

A função <math>f(x)\,</math> é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita.
Observações:
*Quando <math>f(x)\,</math> é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
*A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

===Funções reais===
Seja <math>f:E\to[-\infty,+\infty]\,</math> uma [[função mensurável]], definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:
:<math>f^+(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f(x), &f(x)\geq 0\\
0,    &f(x)\leq 0
\end{array}
\right.\,</math>

:<math>f^-(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, &f(x)\geq 0\\
-f(x),    &f(x)\leq 0
\end{array}
\right.\,</math>

É fácil ver que se <math>f(x)\,</math> é mensurável, então ambas <math>f^+\,</math> e <math>f^-\,</math> são mensuráveis não negativas e que <math>f(x)=f^+(x) - f^-(x)\,</math>.

A função <math>f(x)\,</math> é dita Lebesgue integrável em <math>E\,</math> se ambas as integrais <math>\int_Ef^+(x)dx\,</math> e <math>\int_Ef^-(x)dx\,</math> forem finitas e sua integral é definida como:
:<math>\int_Ef(x)dx=\int_Ef^+(x)dx - \int_E f^-(x)dx\,</math>

*Observe que <math>f(x)\,</math> é integrável se e somente se <math>|f(x)|\,</math> é integrável.

==Propriedades==
Se <math>f(x)\,</math> e <math>g(x)\,</math> são funções integráveis em um conjunto mensurável <math>E\,</math>, então:
*<math>\int_E\left[\alpha f(x) + \beta g(x)\right]d\mu= \alpha\int_E f(x)d\mu + \beta\int_E g(x)d\mu\,</math>
*<math>f(x) \leq g(x)\,</math> quase sempre, então <math>\int_E f(x)d\mu \leq \int_E g(x)d\mu\,</math>
*<math>\left|\int_E f(x)d\mu\right|\leq \int_E|f(x)|d\mu\,</math>
*<math>F\subseteq E\,</math> mensurável, <math>f(x)\,</math> é integrável em <math>F\,</math> e, ainda:
:<math>\int_Ef(x)d\mu=\int_Ff(x)d\mu+\int_{E\backslash F}f(x)d\mu\,</math>
*Se <math>\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\,</math> são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois  e <math>\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=E\,</math> então:
:<math>\int_Ef(x)d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E_n}f(x)d\mu\,</math>
*<math>\nu(F):=\int_Ff(x)d\mu\,</math> define uma [[medida (matemática)|medida]] nos subconjuntos mensuráveis de <math>E\,</math>.

==Comparação com a integral de Riemann==
*A [[integral de Riemann]] no sentido próprio só está definida em [[intervalo (matemática)|intervalos]] finitos ou na união finita destes. Se uma função é [[integral de Riemann|integrável a Riemann]] em um [[intervalo (matemática)|intervalo]] <math>[a,b]\,</math> então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor.

*Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são [[função limitada|limitadas]] nem mesmo [[função essencialmente limitada|essencialmente limitadas]] em nenhum aberto do domínio.

*O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

==Ver também==
*[[Representação bolo de camadas]]
*[[Espaço Lp]]

{{Referências}}

{{esboço-matemática}}

{{Integral}}

{{Portal3|Matemática}}

{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Teoria da medida]]
[[Categoria:Cálculo integral]]