Mostrar código-fonte de Involução (matemática)

[[Ficheiro:Involution.svg|direita|miniaturadaimagem|Uma involução é uma função <math>f:X\to X</math> que, quando aplicada duas vezes, nos traz de volta ao ponto de partida.]]
Em [[matemática]], uma '''involução''', ou uma '''função involutiva''', é uma [[Função (matemática)|função]] {{Mvar|f}} que é a sua própria [[Função inversa|inversa]],

: {{Math|''f''(''f''(''x'')) {{=}} ''x''}}

para todo {{Mvar|x}} no [[Domínio (matemática)|domínio]] de {{Mvar|f}}.<ref>{{Citation|title=Principles of mathematics|year=1903|last=Russell|first1=Bertrand|url=https://books.google.com/books?id=63ooitcP2osC&lpg=PR3&dq=involution%20subject%3A%|page=426|edition=2nd|publisher=W. W. Norton & Company, Inc|isbn=9781440054167}}</ref>

O termo '''anti-involução''' refere-se a involuções baseadas em [[Anti-homomorfismo|antihomomorfismos]] (veja abaixo a seção sobre [[#Álgebra de quatérnios, grupos, semigrupos|álgebra de quatérnios, grupos e semigrupos]]))

: {{Math|''f''(''xy'') {{=}} ''f''(''y'') ''f''(''x'')}}

de tal forma que

: {{Math|''xy'' {{=}} ''f''(''f''(''xy'')) {{=}} ''f''( ''f''(''y'') ''f''(''x'') ) {{=}} ''f''(''f''(''x''))  ''f''(''f''(''y'')) {{=}} ''xy''}}.

== Propriedades gerais ==
Toda involução é uma [[Função bijectiva|bijeção]].

A [[função identidade]] é um exemplo trivial de uma involução. Exemplos comuns em matemática de involuções não triviais incluem a [[multiplicação]] por &#x2212;1 na [[aritmética]], a tomada de [[Inverso multiplicativo|recíprocos]], [[Complementar|complementação]] em [[teoria dos conjuntos]] e a [[Conjugado de um número complexo|conjugação complexa]]. Outros exemplos incluem a inversão numa circunferência, rotação de meia-volta, e as [[Algoritmo de chave simétrica|cifras recíprocas]], tais como a transformação [[ROT13]] e a [[Cifra polialfabética|cifra poli-alfabética]] de Beaufort .

O número de involuções, incluindo a involução identidade, em um conjunto com {{Nowrap|1=''n'' = 0, 1, 2, ...}} elementos é dada por uma [[relação de recorrência]] encontrada por [[Heinrich August Rothe|Heinrich agosto de Rothe]] em 1800:

: ''a''<sub>0</sub> = ''a''<sub>1</sub> = 1;
: ''a''<sub>''n''</sub> = ''a''<sub>''n'' &#x2212; 1</sub> + (''n'' &#x2212; 1)''a''<sub>''n'' &#x2212; 2</sub>, para {{Nowrap|''n'' > 1}}.

Os primeiros termos desta sequência são [[Um|1]], 1, [[Dois|2]], [[Quatro|4]], [[Dez|10]], [[Vinte e seis|26]], [[Setenta e seis|76]], 232 {{OEIS|id=A000085}}; estes números são chamados números de telefone, e também contam o número de [[Diagrama de Young|diagramas de Young]], com um determinado número de células.<ref>{{Citation|title=[[The Art of Computer Programming]], Volume 3: Sorting and Searching|year=1973|last=Knuth|first1=Donald E.|author-link=Donald Knuth|pages=48, 65|place=Reading, Mass.|publisher=Addison-Wesley}}</ref> A [[Composição de funções|composição]] {{Nowrap|''g'' ∘ ''f''}} de duas involuções ''f'' e ''g'' é uma involução se, e somente se, elas comutam: {{Nowrap|1=''g'' ∘ ''f'' = ''f'' ∘ ''g''}}.<ref>{{Citation|title=The Elements of Operator Theory|year=2011|last=Kubrusly|first1=Carlos S.|url=https://books.google.com/books?id=g-UFYTO8SbMC&pg=PA27|at=Problem&nbsp;1.11(a), p.&nbsp;27|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780817649982}}</ref>

Toda involução em um [[Números pares e ímpares|número ímpar]] de elementos tem pelo menos um [[ponto fixo]]. Mais geralmente, para uma involução em um conjunto finito de elementos, o número de elementos e o número de pontos fixos têm a mesma [[Números pares e ímpares|paridade]].<ref>{{Citation|title=A one-sentence proof that every prime ''p''≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares|year=1990|last=Zagier|first1=D.|author-link=Don Zagier|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=97|issue=2|page=144|doi=10.2307/2323918}}</ref>

== Involuções nas áreas da matemática ==

=== Pré-cálculo ===
Exemplos básicos de involuções são as funções:

<math display="block"> f_1(x) = -x,</math>
ou
<math display="block"> f_2(x) = \frac {1}{x},</math>
bem como a sua composição
<math display="block"> (f_1\circ f_2)(x) = (f_2\circ f_1)(x) = f_3(x) = -\frac {1}{x}. </math>

Estas não são as únicas involuções no pré-cálculo. Outro exemplo, definido nos reais positivos, é o seguinte:

<math display="block"> f(x) = \ln\left(\frac {e^x+1}{e^x-1}\right) . </math>

O [[gráfico]] de uma involução (sobre os números reais) tem simetria axial em relação à reta <math>y=x.</math> Isto se deve ao fato de que a inversa de uma função ''arbitrária'' é a sua reflexão em relação à reta <math>y=x,</math> que forma 45&#xB0; com o eixo horizontal. Isso pode ser visto trocando-se <math>x</math> por <math>y.</math> Se, em particular, a função é uma ''involução'', então o gráfico coincidirá com o seu próprio reflexo.

Outras involuções elementares são úteis na [[Equação funcional|solução de equações funcionais]].

=== Geometria euclidiana ===
Um exemplo simples de uma involução do [[Espaço euclidiano|espaço Euclidiano]] tridimensional é a [[Reflexão (matemática)|reflexão]] em relação a um [[Plano (geometria)|plano]]. Realizar uma reflexão duas vezes traz um ponto de volta para as suas coordenadas originais.

Outra involução é a reflexão em relação à origem; não uma reflexão no sentido acima e, portanto, um exemplo distinto.

Essas transformações são exemplos de involuções afins.

=== Geometria projetiva ===
Uma involução é uma projetividade de período 2, isto é, uma projetividade que permuta pares de pontos. Coxeter relaciona três teoremas sobre involuções:

* Qualquer projetividade que permuta dois pontos é uma involução.
* Os três pares de lados opostos de um [[quadrângulo completo]] intersectam qualquer reta (que não passe por um vértice) em três pares de uma involução (isto é o teorema de involução de [[Girard Desargues|Desargues,]]<ref>J. V. de Campo e J. J. Gray, ''O Geométricas Trabalho de Girard Desargues,'' (New York: Springer, 1987), p. 54</ref> cuja origem pode ser vista no Lema IV dos lemas para o ''Porisms'' de Euclides no Volume VII da ''Coleção'' de [[Papo de Alexandria]] <ref>Ivor Thomas (ed.), ''Seleções Ilustrando a História da Matemática grega,'' Volume II, número 362 da [[Loeb Classical Library]] (Cambridge e London: Harvard e Heinemann, 1980), p. 610&#x2013;3</ref>).
* Se uma involução tem um [[ponto fixo]], ela tem outro, e consiste na correspondência entre [[Conjugado harmônico projetivo|conjugados harmônicos]] em relação a estes dois pontos. Neste exemplo, a involução é chamada de "hiperbólica", enquanto que se não existirem pontos fixos ela é "elíptica".

Outro tipo de involução que ocorre na geometria projetiva é uma '''polaridade''', que é uma correlação de período 2.<ref>[[H. S. M. Coxeter]] (1969) Introdução à Geometria, pp 244&#x2013;8, [[John Wiley & Sons]]</ref>

=== Álgebra linear ===
Em álgebra linear, um operador linear ''T'' sobre um espaço vetorial é uma involução se <math>T^2=I.</math> Com exceção do caso em que o corpo de escalares tem característica 2, tais operadores são diagonalizáveis para uma determinada base com apenas 1s e &#x2212;1s na diagonal da matriz correspondente. Se o operador é ortogonal (uma '''involução ortogonal'''), então ele é ortogonalmente diagonalizável.

Por exemplo, suponha que uma base para um espaço vetorial ''V'' é escolhida, e que ''e''<sub>1</sub> e ''e''<sub>2</sub> sejam elementos da base. Existe uma transformação linear ''f'' que leva ''e''<sub>1</sub> em ''e''<sub>2</sub>, e leva ''e''<sub>2</sub> em ''e''<sub>1</sub>, e que é a identidade em todos os outros vetores base. Pode ser verificado que {{Nowrap|1=''f''(''f''(''x'')) = ''x''}} para todo ''x'' em ''V'', ou seja, que ''f'' é uma involução de ''V''.

Para uma base específica, qualquer operador linear pode ser representado por uma [[Matriz (matemática)|matriz]] ''T''. Cada matriz tem uma [[Matriz transposta|transposta]], obtida por meio da troca de linhas por colunas. Esta transposição é uma involução no conjunto de matrizes.

A definição de involução se generaliza facilmente para [[Módulo (álgebra)|módulos]]. Dado um módulo ''M'' sobre um [[Anel (matemática)|anel]] ''R'', um ''R''-[[endomorfismo]] ''f'' de ''M'' é chamado de involução se ''f''&#x20;<sup>2</sup> é o homomorfismo identidade em ''M''.

As involuções estão relacionadas aos idempotentes; se 2 é invertível, então eles têm uma [[Função bijectiva|correspondência]] um a um.

=== Álgebra de quatérnios, grupos, semigrupos ===
Em uma álgebra de quatérnios, define-se uma (anti-)involução pelos seguintes axiomas: uma função <math>x \mapsto f(x)</math> é uma involução se:

* <math> f(f(x))=x </math> (ela é a sua própria inversa)
* <math> f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2) </math> e <math> f(\lambda x)=\lambda f(x) </math> (ela é linear)
* <math> f(x_1 x_2)=f(x_1) f(x_2) </math>

Por outro lado, a função f é uma anti-involução se satisfaz os dois primeiros axiomas, e também o seguinte

* <math> f(x_1 x_2)=f(x_2) f(x_1) </math>

Esta última propriedade as vezes é chamada de [[Distributividade|antidistributiva]]. Ela também aparece em [[Grupo (matemática)|grupos]] como {{Nowrap|1=(''xy'')<sup>−1</sup> = ''y''<sup>−1</sup>''x''<sup>−1</sup>}}. Quando é considerada como um axioma, ele dá origem à noção de semigrupo com involução, da qual há exemplos naturais que não são grupos, tais como, por exemplo, a multiplicação de matrizes quadradas (ou seja, o [[Grupo linear geral|monoide linear completo]]) com a [[Matriz transposta|transposição]] sendo a involução.

=== Teoria de anéis ===
{{VT|*-álgebra}}
No [[Teoria dos anéis|teoria de anéis]], a palavra ''involução'' normalmente é usada para se referir a um [[Anti-homomorfismo|antihomomorfismo]] que é o seu próprio inverso. Exemplos de involuções em anéis comuns:

* [[Conjugado de um número complexo|conjugação complexa]] no [[plano complexo]]
* a multiplicação por j nos [[Número complexo hiperbólico|números complexos hiperbólicos]]
* a transposição em um anela de matrizes.

=== Teoria dos grupos ===
Em [[teoria dos grupos]], um elemento de um [[Grupo (matemática)|grupo]] é uma involução se tem [[Ordem (teoria dos grupos)|ordem]] 2, ou seja, uma involução é um elemento ''a'' tal que ''a'' ≠ ''e'' e ''a''<sup>2</sup> = ''e'', onde ''e'' é o [[elemento neutro]].<ref>John S. Rose. [https://books.google.com/books?id=j-I7Zpq3GdIC "A Course on Group Theory"]. p. 10, seção 1.13.</ref>

Originalmente, esta definição estava de acordo com a primeira definição acima, uma vez que os membros dos grupos sempre foram bijeções de um conjunto em si mesmo, ou seja, o termo ''grupo'' era usado para se referir a um ''[[Grupo de permutação|grupo de permutações]]''. No final do século XIX, o conceito de ''grupo'' passou a ser definido de forma mais ampla, e o mesmo aconteceu com o conceito de ''involução''.

Uma [[permutação]] é uma involução precisamente quando pode ser escrita como um produto de uma ou mais [[Permutação circular|transposições]] que não se sobrepõe.

As involuções de um grupo têm um grande impacto sobre a estrutura do grupo. O estudo das involuções foi fundamental na [[classificação dos grupos simples finitos]].

Um elemento ''x'' de um grupo ''G'' é considerado [[elemento fortemente real|fortemente real]] se há uma involução ''t'' {{nowrap begin}}com ''x''<sup>''t''</sup> = ''x''<sup>−1</sup>{{nowrap end}} {{nowrap begin}}(em que ''x''<sup>''t''</sup> = ''t''<sup>−1</sup>⋅''x''⋅''t'').{{nowrap end}}

Os grupos de Coxeter são grupos gerados por involuções com as relações determinadas apenas pelas relações dadas para os pares de involuções geradoras. Os grupos de Coxeter podem ser usados, entre outras coisas, para descrever os possíveis [[Sólido platónico|poliedros regulares]] e suas generalizações para dimensões superiores.

=== Lógica matemática ===
A operação de complemento na [[Álgebra booleana (estrutura)|álgebra Booleana]] é uma involução. Do mesmo modo, a [[negação]] na lógica clássica satisfaz a ''lei da dupla negação:'' ¬¬''A'' é equivalente a ''A''.

Geralmente, em lógicas não clássicas, uma negação que satisfaça a lei da dupla negação é dita ''involutiva. '' Em semântica algébrica, tal negação é obtida como uma involução na álgebra de [[Valor de verdade|valores de verdade]]. Entre as lógicas que têm negações involutivas estão, por exemplo, a [[Lógica ternária|lógica de três valores]] de Kleene e Bochvar, a [[Lógica de Łukasiewicz|lógica de muitos valores de Lukasiewicz]], a [[Lógica difusa|lógica fuzzy]] IMTL, etc. Às vezes a negação involutiva é adicionado como um conectivo adicional às lógicas com negações não-involutivas; isso é comum, por exemplo, nas [[lógicas difusas de T-norma]].

A involutividade da negação é uma propriedade caracterizadora importante para as lógicas e as correspondentes variedades de álgebras. Por exemplo, a negação involutiva caracteriza a [[Álgebra booleana (estrutura)|álgebra Booleana]] entre as álgebras de Heyting. Do mesmo modo, a [[Lógica clássica|lógica Booleana]] clássica surge ao adicionar a lei da dupla negação à [[lógica intuicionista]]. A mesma relação também vale entre as MV-álgebras e as BL-álgebras (e, assim, respectivamente, entre a [[Lógica de Łukasiewicz|lógica de Lukasiewicz]] e a lógica fuzzy BL), IMTL e MTL, e outros pares de variedades de álgebras importantes (respectivamente, lógicas correspondentes).

No estudo das [[Relação binária|relações binárias]], toda relação tem uma [[relação inversa]]. Como a inversa da inversa é a relação original, a operação de inversão é uma involução na categoria das relações. As relações binárias são [[Conjunto parcialmente ordenado|ordenadas]] através da [[Subconjunto|inclusão]]. Embora essa ordem seja invertida com a involução de [[Complementar|complementação]], ela é preservada sob a inversão.

=== Ciência da computação ===
A [[Lógica binária|operação bit a bit]] [[Porta XOR|XOR]] com um valor determinado para um parâmetro também é uma involução. As [[Máscara (computação)|máscaras]] XOR já foram usadas para desenhar gráficos em imagens de tal forma que ao desenhá-las duas vezes no plano de fundo o plano de fundo era revertido para seu estado original.

Outro exemplo é uma máscara de bits e função de deslocamento operando sobre os valores de cor armazenados como inteiros, digamos, no formato RGB que, e que troca R e B, resultando na forma BGR. f(f(RGB))=RGB, f(f(BGR))=BGR.

A cifra criptográfica [[RC4]] é involutiva, já que a criptografia e a descriptografia usam a mesma função.

== Ver também ==

* [[Automorfismo]]
* [[Idempotência]]
* [[ROT13]]

== Referências ==
<references group=""></references>

== Leitura complementar ==

* {{Citar periódico|titulo=Quaternion involutions and anti-involutions|jornal=Computers & Mathematics with Applications|volume=53|doi=10.1016/j.camwa.2006.10.029}}
* {{Citation|title=The book of involutions|year=1998|last=Knus|last2=Merkurjev|last3=Rost|last4=Tignol|first1=Max-Albert|first2=Alexander|first3=Markus|first4=Jean-Pierre|author2-link=Alexander Merkurjev|author3-link=Markus Rost|series=Colloquium Publications|volume=44|others=With a preface by J. Tits|place=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=0-8218-0904-0}}
* {{SpringerEOM}}

[[Categoria:Funções matemáticas]]
[[Categoria:Álgebra abstrata]]
[[Categoria:!Páginas com traduções não revistas]]