Mostrar código-fonte de Método de Neyman–Pearson

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Em [[estatística]], o '''método''' ou [[Lema (matemática)|lema]] '''de Neyman–Pearson''' foi introduzido pelo matemático polonês [[Jerzy Neyman]] e pelo matemático britânico [[Egon Pearson]] em um artigo de 1933. Este lema afirma que, quando se realiza um [[Testes de hipóteses|teste de hipóteses]] entre duas [[Testes de hipóteses#Terminologia|hipóteses simples]] <math>H_0:\theta=\theta_0</math> e <math>H_1:\theta=\theta_1</math>, o teste de razão de verossimilhança que rejeita <math>H_0</math> em favor de <math>H_1</math> quando<blockquote><math>\Lambda(x)=\frac{L(x\mid\theta_0)}{L(x\mid\theta_1)}\leq\eta,</math></blockquote>em que<blockquote><math>P(\Lambda(X)\leq\eta\mid H_0)=\alpha, </math></blockquote>é o teste mais [[Potência estatística|potente]] ao [[Testes de hipóteses#Terminologia|nível de significância]] <math>\alpha </math> para o limiar <math>\eta </math>. Se o teste for o mais potente para todo <math>\theta_1\in\Theta_1</math>, pode ser considerado o uniformemente mais potente (UMP) para alternativas no conjunto <math>\Theta_1 </math>.

Na prática, a razão de verossimilhança é com frequência usada diretamente para construir testes — como o teste de razão de verossimilhança. Entretanto, pode ser usada para sugerir estatísticas de teste particulares que podem ser de interesse ou sugerir testes simplificados — para isto, considera-se a manipulação algébrica da razão para ver se há nela estatísticas-chave relacionadas com o tamanho da razão, isto é, se uma estatística grande corresponde a uma razão pequena ou a uma razão grande.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Neyman|primeiro=J.|ultimo2=Pearson|primeiro2=E. S.|data=1933-02-16|titulo=IX. On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses|url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/231/694-706/289|jornal=Phil. Trans. R. Soc. Lond. A|lingua=en|volume=231|numero=694-706|paginas=289–337|doi=10.1098/rsta.1933.0009|issn=0264-3952}}</ref>

==Prova==
Defina a região de rejeição da hipótese nula para o teste de Neyman–Pearson como:<blockquote><math>R_{NP}=\left\{x:\frac{L(x\mid\theta_0)}{L(x\mid\theta_1)}\leqslant\eta\right\},</math></blockquote>em que <math>\eta</math> é escolhido de modo que <math>P(R_{NP},\theta_0)=\alpha</math>.

Qualquer outro teste terá uma região de rejeição diferente que denotamos como <math>R_A</math>. A probabilidade de que os dados caiam na região <math>R</math>, dado o parâmetro <math>\theta</math> é:<blockquote><math>P(R,\theta)=\int_RL(x\mid\theta)\,dx. </math><ref>{{Citar web|url=https://cnx.org/contents/7yMVBb6e@2/The-Neyman-Pearson-Criterion|titulo=OpenStax CNX|acessodata=2018-02-01|obra=cnx.org|lingua=en-US}}</ref></blockquote>Para o teste com região crítica <math>R_A </math> ter nível <math>\alpha </math>, <math>\alpha\geqslant P(R_A,\theta_0) </math> deve ser verdadeiro, consequentemente:<blockquote><math>\alpha= P(R_{NP}, \theta_0) \geqslant  P(R_A, \theta_0).</math></blockquote>Será útil separar isto em integrais sobre regiões distintas:<blockquote><math>\begin{align}
P(R_{NP},\theta)&=P(R_{NP}\cap R_A,\theta)+P(R_{NP}\cap R_A^c,\theta)\\
P(R_A,\theta)&= P(R_{NP}\cap R_A,\theta)+P(R_{NP}^c\cap R_A,\theta).
\end{align}</math></blockquote>Configurando <math>\theta=\theta_0</math>, estas duas expressões e a igualdade acima dão:<blockquote><math>P(R_{NP}\cap R_A^c,\theta_0)\geqslant P(R_{NP}^c\cap R_A,\theta_0).</math></blockquote>Comparando as potências dos dois testes, <math>P(R_{NP},\theta_1)</math> e <math>P(R_A,\theta_1)</math>, tem-se que:<blockquote><math>P(R_{NP},\theta_1)\geqslant P(R_A,\theta_1)\iff P(R_{NP}\cap R_A^c,\theta_1)\geqslant P(R_{NP}^c\cap R_A,\theta_1). </math></blockquote>Mostra-se que a [[desigualdade]] à esquerda se aplica. Agora, por definição de <math>R_{NP} </math>,<blockquote>''<math>\begin{align}
P(R_{NP}\cap R_A^c,\theta_1)&=\int_{R_{NP}\cap R_A^c}L(x\mid\theta_{1})\,dx\\[4pt]
&\geqslant\frac{1}{\eta}\int_{R_{NP}\cap R_A^c}L(x\mid\theta_0)\,dx&&\text{por definicao de }R_{NP}\\[4pt]
&=\frac{1}{\eta}P(R_{NP}\cap R_A^c,\theta_0)&&\text{por definicao de }P(R,\theta)\\[4pt]
&\geqslant\frac{1}{\eta}P(R_{NP}^c\cap R_A,\theta_0)\\[4pt]
&=\frac{1}{\eta}\int_{R_{NP}^c\cap R_A}L(x\mid\theta_{0})\,dx\\[4pt]
&\geqslant\int_{R_{NP}^c\cap R_A}L(x\mid\theta_1)\,dx\\[4pt]
&=P(R_{NP}^c\cap R_A,\theta_1).
\end{align}</math>''<ref>{{Citar web|url=https://www.otexts.org/node/635|titulo=4.2.2 The Neyman-Pearson approach {{!}} OTexts|acessodata=2018-02-01|obra=www.otexts.org|lingua=en}}</ref></blockquote>

==Exemplo==
Considere <math>X_1,\ldots,X_n</math> uma amostra aleatória da distribuição <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>, em que a média <math>\mu</math> é conhecida, e suponha que queremos testar por <math>H_0:\sigma^2=\sigma_0^2</math> contra <math>H_1:\sigma^2=\sigma_1^2</math>. A verossimilhança para este conjunto de dados [[Distribuição normal|normalmente distribuídos]] é:<blockquote><math>L\left(\mathbf{x}\mid\sigma^2\right)\propto\left(\sigma^2\right)^{-n/2}\exp\left\{-\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}.</math></blockquote>Podemos computar a razão de verossimilhança para encontrar a estatística-chave neste teste e seu efeito no valor observado do teste:<blockquote><math>\Lambda(\mathbf{x})=\frac{L(\mathbf{x}\mid\sigma_0^2)}{L(\mathbf{x}\mid\sigma_1^2)}=
\left(\frac{\sigma_0^2}{\sigma_1^2}\right)^{-n/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}(\sigma_0^{-2}-\sigma_1^{-2})\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right\}.</math></blockquote>Esta razão depende apenas dos dados por <math>\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2</math>. Por isso, pelo lema de Neyman–Pearson, o teste mais potente deste tipo de hipótese para este dado dependerá apenas de <math>\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2</math>. Além disso, por inspeção, podemos ver que, se <math>\sigma_1^2>\sigma_0^2</math>, então, <math>\Lambda(\mathbf{x})</math> é uma [[função decrescente]] de <math>\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2</math>. Então, devemos rejeitar <math>H_0</math> se <math>\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2</math> for suficientemente grande. O limiar de rejeição depende apenas do [[Erro do tipo I|tamanho]] do teste. Neste exemplo, a estatística de teste pode ser mostrada como sendo um [[variável aleatória]] escalonada com distribuição [[qui-quadrado]] e um valor crítico exato pode ser obtido.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=K6t5qn-SEp8C&printsec=frontcover&dq=E.+L.+Lehmann+Joseph+P.+Romano,+Testing+statistical+hypotheses&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjZnLnjo4XZAhUIUZAKHbnBCIEQ6AEIKDAA#v=onepage&q=E.%20L.%20Lehmann%20Joseph%20P.%20Romano,%20Testing%20statistical%20hypotheses&f=false|título=Testing Statistical Hypotheses|ultimo=Lehmann|primeiro=Erich L.|ultimo2=Romano|primeiro2=Joseph P.|data=2006-03-30|editora=Springer Science & Business Media|lingua=en|isbn=9780387276052}}</ref>

==Aplicação em economia==
Uma variante do lema de Neyman–Pearson encontrou uma aplicação no domínio aparentemente não relacionado da economia do valor da terra. Um dos problemas fundamentais na [[teoria do consumidor]] é calcular a função demanda do consumidor dados os preços. Em particular, dadas uma propriedade de terra heterogênea, uma medida de preço sobre a terra e uma medida de utilidade subjetiva sobre a terra, o problema do consumidor é calcular a melhor parcela de terra que pode comprar — isto é, a parcela de terra com a maior utilidade e cujo preço é mais adequado a seu orçamento. Acontece que este problema é muito semelhante ao problema de encontrar o teste estatístico mais potente e, então, o lema de Neyman–Pearson pode ser usado.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Berliant|primeiro=Marcus|titulo=A characterization of the demand for land|url=https://dx.doi.org/10.1016/0022-0531(84)90091-7|jornal=Journal of Economic Theory|volume=33|numero=2|paginas=289–300|doi=10.1016/0022-0531(84)90091-7}}</ref>

==Usos em engenharia eletrônica==
O lema de Neyman–Pearson é muito útil em engenharia eletrônica, mais precisamente no desenho e uso de sistemas de [[radar]], [[Transmissão de dados|sistemas de comunicação digital]] e sistemas de [[processamento de sinal]]. Em sistemas de radar, o lema de Neyman–Pearson é usado primeiramente para configurar a razão de detecções perdidas a um (baixo) nível desejado e, em seguida, minimizar a razão de alarmes falsos ou vice-versa. Nem alarmes falsos, nem detecções perdidas podem ser configurados a razões arbitrariamente baixas, incluindo zero. Tudo o que foi dito serve também para muitos sistemas em processamento de sinais.

==Ver também==
* [[Distribuição F de Fisher-Snedecor]]
* [[Potência estatística]]

==Referências==
{{Reflist}}

{{Estatística}}
{{Portal3|Probabilidade e estatística}}

[[Categoria:Lemas (matemática)]]
[[Categoria:Testes estatísticos]]