Mostrar código-fonte de Número hiper-real

{{mais notas|data=Setembro de 2013}}
{{Conjuntos de números}}
[[Imagem:Números hiperreales.png|thumb|300px|Os números hiper-reais.]]

O conjunto dos '''números hiper-reais''' é uma maneira de tratar quantidades [[Infinito|infinitas]] e infinitesimais.  Os hiper-reais, ou '''reais não padronizados''', *'''R''', são uma extensão dos [[números reais]] '''R''' que contém números maiores
do que qualquer coisa na forma

:<math>1 + 1 + \cdots + 1 + \cdots \, </math>

Esse número é infinito, e seu [[Inverso multiplicativo|inverso]] é [[infinitesimal]].  O termo "hiper-real" foi introduzido por [[Edwin Hewitt]] em 1948.<ref>Hewitt (1948), p.&nbsp;74, como reportado em Keisler (1994)</ref>

== Abordagem intuitiva ==
Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do [[cálculo infinitesimal]].{{carece de fontes|data=abril de 2017}}

Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, <math>y = t^2\,</math> pode ser calculada através da razão <math>\Delta y / \Delta t\,</math> para um valor de <math>\Delta t\,</math> que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é <math>v = \frac { \Delta y } {\Delta t} = 2 t_0 + \Delta t\,</math>, que difere do resultado esperado <math>2 t_0\,</math> pela quantidade pequena, porém não nula, <math>\Delta t\,</math>. Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.<ref name="keisler.p.23">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.23 [https://www.math.wisc.edu/~keisler/chapter_1b.pdf <nowiki>[pdf]</nowiki>]</ref>

O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de [[infinitesimal]], <math>\epsilon\,</math> que satisfaz <math>-a < \epsilon < a\,</math> para todo número real ''a > 0''. O único número real que é infinitesimal é o [[zero]],<ref group="Nota">Alguns autores requerem de um infinitesimal que seja não-nulo, ou que seja positivo.</ref> O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.<ref name="keisler.p.24">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.24</ref>

Dois números reais ''a'' e ''b'' estão infinitamente próximos quando sua diferença ''a - b'' for um infinitesimal. Se <math>\epsilon > 0\,</math> for um número infinitesimal, então seu inverso <math>1 / \epsilon\,</math> é um número infinito positivo, e <math>- 1 / \epsilon\,</math> infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos.<ref name="keisler.p.24" /> Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.<ref name="keisler.p.25">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.25</ref>

A definição da derivada <ref group="Nota">O texto de Keisler, que usa uma abordagem geométrica, fala da inclinação da curva</ref> pode então ser dada como sendo o número real que está infinitamente próximo de <math>\frac { \Delta y } {\Delta x}\,</math><ref name="keisler.p.25" />

Por exemplo, para <math>y = x^2\,</math>, o resultado é <math>2 x_0 + \Delta x\,</math>, e, como <math>\Delta x\,</math> é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de <math>2 x_0 + \Delta x\,</math> é <math>2 x_0\,</math><ref name="keisler.p.25" />

== Princípio da transferência ==
Os números hiper-reais satisfazem o [[princípio da transferência]], uma versão rigorosa da [[lei da continuidade|Lei da Continuidade]] heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de [[Lógica de primeira ordem|primeira ordem]] sobre '''R''' também são válidas no *'''R'''. Por exemplo, a lei comutativa da adição, ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;=&nbsp;''y''&nbsp;+&nbsp;''x'', vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que '''R''' seja um [[real closed field|campo real fechado]], então é *'''R'''.  Desde que <math>\sin{\pi n}=0</math> para todos os inteiros ''n'', há também um <math>\sin{\pi H}=0</math> para todos [[hipper-inteiro|hiper-inteiros]] ''H''.  O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do [[Łoś' theorem|Teorema de Łoś']] de 1955.

Preocupações sobre a [[Correção]] de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com  [[Archimedes]] trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o [[método da exaustão]].<ref>Ball, p. 31</ref> Nos anos de 1960, [[Abraham Robinson]] provou que  hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.

A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de [[análise matemática|análises matemáticas]] são chamados de [[Análise não padronizada|análises não padronizadas]]. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como  derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores.  Portanto, a derivada de''f(x)'' se torna <math>f'(x) = {\rm st}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right)</math> para um infinitesimal <math>\Delta x</math>, onde ''st(&middot;)'' denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele.  Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.

== Ver também ==
{{Portal|Matemática}}
* [[Hyperinteger]]
* [[Real closed field]]s
* [[Non-standard calculus]]
* [[Constructive non-standard analysis]]
* [[Influence of non-standard analysis]]
* [[Número surreal]]

{{notas e referências}}

==Leitura detalhada==
*{{citation |último = Ball |primeiro = W.W. Rouse  |autorlink = W. W. Rouse Ball |título= A Short Account of the History of Mathematics |anooriginal=  | url =  |edição= 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] |ano= 1960 |publicado= Dover Publications |local= New York | isbn = 0-486-20630-0 |páginas= 50–62 }}
*Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", [[American Mathematical Monthly]] 89: 362&ndash;370.
*Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
*{{citation |último1 =Jerison |primeiro1 =Meyer |último2 =Gillman |primeiro2 =Leonard |título=Rings of continuous functions |publicado=[[Springer-Verlag]] |local=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90198-5 |ano=1976}}
*Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
*{{citation |último1 =Kleinberg |primeiro1 =Eugene M. |último2 =Henle |primeiro2 =James M. |título=Infinitesimal Calculus |publicado=[[Dover Publications]] |local=New York | isbn=978-0-486-42886-4 |ano=2003}}

==Ligações externas==
*Crowell, ''[http://www.lightandmatter.com/calc/ Calculus]''. A text using infinitesimals.
*Hermoso, ''[http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html Nonstandard Analysis and the Hyperreals]''. A gentle introduction.
*Keisler, ''[http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals]''. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
*Stroyan, ''[https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus]


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