Mostrar código-fonte de Teorema de Bayes

{{Fundamentos de probabilidade}}Em [[teoria das probabilidades]] e [[estatística]], o '''teorema de Bayes''' (alternativamente, a lei de Bayes ou a regra de Bayes) descreve a probabilidade de um evento, baseado em um conhecimento ''[[A priori e a posteriori|a priori]]'' que pode estar relacionado ao evento. O teorema mostra como alterar as probabilidades ''a'' ''priori'' tendo em vista novas evidências para obter probabilidades ''[[A priori e a posteriori|a posteriori]].''{{Harvref|Bussab|Morettin|2010|p=121-122}} Por exemplo, o teorema de Bayes pode ser aplicado ao [[jogo das três portas]] (também conhecido como problema de Monty Hall). <ref>{{citar web|url=http://www.ufjf.br/joaquim_neto/files/2009/09/IB-Slides-v1.1.pdf|titulo=Inferência Bayesiana|data=2010|acessodata=25 de maio de 2017|publicado=Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)|ultimo=Neto|primeiro=Joaquim}}</ref>

Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a [[inferência bayesiana]], uma abordagem particular da [[inferência estatística]]. Quando aplicado, as probabilidades envolvidas no teorema de Bayes podem ter diferentes interpretações de probabilidade. Com a interpretação bayesiana de probabilidade, o teorema expressa como a probabilidade de um evento (ou o grau de crença na ocorrência de um evento) deve ser alterada após considerar evidências sobre a ocorrência deste evento. A inferência bayesiana é fundamental para a estatística bayesiana.{{Harvref|Bussab|Morettin|2010|p=317-318}}
O teorema de Bayes recebe este nome devido ao pastor e matemático inglês [[Thomas Bayes]] (1701 – 1761), que foi o primeiro a fornecer uma equação que permitiria que novas evidências atualizassem a probabilidade de um evento a partir do conhecimento ''a priori'' (ou a crença inicial na ocorrência de um evento). O teorema de Bayes foi mais tarde desenvolvido por [[Pierre-Simon Laplace]], que foi o primeiro a publicar uma formulação moderna em 1812 em seu livro Teoria Analítica de Probabilidade, na tradução do francês. [[Harold Jeffreys]] colocou o algoritmo de Bayes e a formulação de Laplace em uma base axiomática. Jeffreys escreveu que "''o teorema de Bayes'' ''é para a teoria da probabilidade o que o teorema de Pitágoras é para a geometria".''<ref>{{citar livro|ultimo=Jeffreys|primeiro=Harold|ano=1973|titulo=Scientific Inference|editora=[[Cambridge University Press]]|edicao=3rd|isbn=978-0-521-18078-8|pagina=31}}</ref>[[Ficheiro:Bayes'_Theorem_MMB_01.jpg|miniaturadaimagem|Placa de neon, mostrando a expressão do teorema de Bayes.]]

== História ==
[[Ficheiro:Bayes'_Theorem_2D.svg|miniaturadaimagem|Visualização do teorema de Bayes.]]O teorema de Bayes recebe este nome devido ao pastor e matemático inglês [[Thomas Bayes]] (1701 – 1761), que estudou como calcular a distribuição para o parâmetro de probabilidade de uma [[distribuição binomial]] (terminologia moderna). O manuscrito não publicado de Bayes foi editado significativamente por [[Richard Price (filósofo)|Richard Price]] antes de ser lido postumamente na [[Royal Society]]. Price editou o principal trabalho de Bayes ''An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances'' (1763),<ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=NCu6HhGlAB8C&pg=PA243|ultimo=Allen|primeiro=Richard|editora=SUNY Press|ano=1999|isbn=978-0-7914-9451-6|acessodata=16 de junho de 2013|titulo=David Hartley on Human Nature|paginas=243-244}}</ref> que aparece em ''Philosophical Transactions''<ref name="Price1763">{{citar periódico|ultimo2=Price|primeiro2=Richard|ano=1763|titulo=An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A. M. F. R. S.|volume=53|numero=0|paginas=370–418|doi=10.1098/rstl.1763.0053|url=http://www.stat.ucla.edu/history/essay.pdf|periodico=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|ultimo1=Bayes|primeiro1=Thomas|jornal=|acessodata=2017-07-17|arquivourl=https://web.archive.org/web/20110410085940/http://www.stat.ucla.edu/history/essay.pdf|arquivodata=2011-04-10|urlmorta=yes}}</ref> e contém o teorema de Bayes. Price escreveu uma introdução para o artigo, que fornece algumas das bases filosóficas da estatística bayesiana. Em 1765, Price foi eleito membro da Royal Society em reconhecimento ao seu trabalho sobre o legado de Bayes.<ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=xdH-gjy2vzUC&pg=PR23|ultimo=Price|primeiro=Richard|editora=Cambridge University Press|ano=1991|isbn=978-0-521-40969-8|acessodata=16 de junho de 2013|titulo=Price: Political Writings|pagina=xxiii}}</ref>

O matemático francês [[Pierre-Simon Laplace]] reproduziu e estendeu os resultados de Bayes em 1774, aparentemente sem ter conhecimento do trabalho de Bayes.<ref>Laplace, Pierre-Simon et al. Mémoire sur la probabilité des causes par les évènements. Mémoires présentés par divers savants [à l’Académie royale des sciences], Paris, Imprimerie royale, v. 6, p. 621-656, 1774.</ref><ref>Laplace, Pierre-Simon. Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de tres grands nombres. Œuvres completes X, Paris, p. 209-291, 1785.</ref><ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=oq8XNbKyUewC&pg=PA268|ultimo=Daston|primeiro=Lorraine|editora=Princeton Univ Press|ano=1988|isbn=0-691-08497-1|titulo=Classical Probability in the Enlightenment|pagina=268}}</ref> A interpretação bayesiana da probabilidade foi desenvolvida principalmente por Laplace.<ref>Stigler, Stephen M. (1986). ''The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900''. Harvard University Press, Chapter 3.</ref> Stephen Stigler sugeriu em 1983 que o teorema de Bayes foi descoberto pelo matemático inglês cego [[Nicholas Saunderson]] pouco antes de Bayes.<ref>{{citar periódico|ano=1983|titulo=Who Discovered Bayes’ Theorem?|volume=37|numero=4|paginas=290–296|doi=10.1080/00031305.1983.10483122|url=|ultimo1=Stigler|primeiro1=Stephen M|periodico=The American Statistician}}</ref><ref name="Stats, Data and Models">{{citar livro|ultimo2=Velleman|primeiro2=Paul|ultimo3=Bock|primeiro3=David|editora=Pearson|ano=2016|edicao=4|isbn=978-0-321-98649-8|titulo=Stats, Data and Models|paginas=380–381|ultimo1=De Vaux|primeiro1=Richard}}</ref> Entretanto, esta interpretação tem sido contestada.<ref>{{citar periódico|ano=1986|titulo=Is the Reference in Hartley (1749) to Bayesian Inference?|volume=40|numero=2|paginas=109–110|doi=10.1080/00031305.1986.10475370|url=|ultimo1=Edwards|primeiro1=A. W. F.|periodico=The American Statistician}}</ref> Martyn Hooper<ref>{{citar periódico|ano=2013|titulo=Richard Price, Bayes’ theorem, and God|volume=10|numero=1|paginas=36–39|doi=10.1111/j.1740-9713.2013.00638.x|url=|ultimo1=Hooper|primeiro1=Martyn|periodico=Significance}}</ref> e Sharon McGrayne{{Harvref|Mcgrayne|2011}} argumentaram que a contribuição de Richard Price foi substancial: {{Cquote|Por padrões modernos, devemos nos referir à regra Bayes–Price. Price descobriu o trabalho de Bayes, reconheceu sua importância, corrigiu–o, contribuiu para o artigo e encontrou um uso para ele. A convenção moderna de empregar apenas o nome de Bayes é injusta, mas tão arraigada que faz todo o resto não ter quase nenhum sentido.{{Harvref|Mcgrayne|2011}}|autor=}}

== Definição formal ==
[[Ficheiro:Scheme for Bayes' theorem.png|miniaturadaimagem|Visão esquemática do teorema de Bayes, em que <math>Bi</math> é uma partição do espaço de probabilidade <math>\Omega</math> e <math>A</math> é um evento qualquer.]]
O teorema de Bayes é um [[corolário]] da [[lei da probabilidade total]], expresso matematicamente na forma da seguinte equação:

<math>P(A\mid B) = \frac{P(B \mid A)\, P(A)}{P(B)}</math>,

em que <math>A</math> e <math>B</math> são eventos e <math>P(B) \neq 0</math>.<ref name=":0">{{citar livro|titulo=Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory|ano=1994|ultimo1=Stuart|ultimo2=Ord|primeiro1=A.|primeiro2=K.|editora=Edward Arnold}}.</ref>{{Harvref|Bussab|Morettin|2010|p=116}}

O teorema de Bayes também pode ser escrito da seguinte maneira:

<math>P(A\mid B)\, P(B) = P(A\cap B) = P(B\cap A) = P(B\mid A)\,P(A)= P(A\mid B)\,P(B)</math><ref name=":0" />{{Harvref|Bussab|Morettin|2010|p=111}}
* <math>P(A)</math> e <math>P(B)</math> são as [[probabilidade condicionada|probabilidades]] ''[[a priori]]'' de <math>A</math> e <math>B</math>;
* <math>P(A\mid B)</math> é a probabilidade ''[[a posteriori]]'' ([[Probabilidade condicionada|probabilidade condiciona]]<nowiki/>[[Probabilidade condicionada|da]]) de <math>A</math> [[probabilidade condicionada|condicional]] a <math>B</math>;
* <math>P(B\mid A)</math> é a probabilidade ''[[a posteriori]]'' ([[Probabilidade condicionada|probabilidade condiciona]]<nowiki/>[[Probabilidade condicionada|da]]) de <math>B</math> [[probabilidade condicionada|condicional]] a <math>A</math>.<ref name=":0" />{{Harvref|Bussab|Morettin|2010|p=111}}

== Exemplo ==
[[Ficheiro:Bayes_theorem_drugs_example_tree.svg|miniaturadaimagem|Diagrama em árvore para o teste de droga, em que U, Ū, + e − são os eventos representando usuário, não usuário, resultado positivo e resultado negativo, respectivamente. As porcentagens entre parêntesis são calculadas.]]

=== Teste de drogas ===
Seja um teste de drogas 99% sensível e 99% específico. Isto é, o teste produzirá 99% de resultados verdadeiros positivos para usuários de drogas e 99% de resultados verdadeiros negativos para não-usuários de drogas. Suponha que 0,5% das pessoas são usuárias de drogas. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente testar positivo, qual a probabilidade de ele ser usuário de drogas? Isto é, qual a probabilidade de não se cometer um [[falso positivo]]?<ref name=":2">{{citar livro|título=Intelligent Bioinformatics: The Application of Artificial Intelligence Techniques to Bioinformatics Problems|ultimo=Keedwell|primeiro=Edward|ultimo2=Narayanan|primeiro2=Ajit|editora=Joh Wiley and Sons|ano=2005|local=|páginas=108 — 111|total-páginas=279|acessodata=}}</ref>

<math>
\begin{align}
P(\text{usuário}\mid\text{+}) &= \frac{P(\text{+}\mid\text{usuário}) P(\text{usuário})}{P(+)} \\
 &= \frac{P(\text{+}\mid\text{usuário}) P(\text{usuário})}{P(\text{+}\mid\text{usuário}) P(\text{usuário}) + P(\text{+}\mid\text{não usuário}) P(\text{não usuário})} \\[8pt]
&= \frac{0,99 \times 0,005}{0,99 \times 0,005 + 0,01 \times 0,995} \\[8pt]
&\approx 33,2\%
\end{align}</math>

Mesmo com a aparente precisão do teste, se um indivíduo testar positivo, é mais provável que ele não seja do que ele seja usuário de drogas. Isto porque o número de não-usuários é muito maior que o número de usuários de drogas. Então, o número de falsos positivos supera o número de positivos verdadeiros. Para usar números concretos, se 1000 indivíduos forem testados, espera–se que 995 não sejam usuários e 5 sejam usuários de drogas. Para os 995 não-usuários de drogas, são esperados <math>0,01 \times 995 \approx 10</math> falsos positivos. Para os 5 usuários de drogas, são esperados <math>0,99 \times 5 \approx 5</math> positivos verdadeiros. Isto é, dos 15 resultados positivos, apenas 5 (ou 33%) são genuínos. Isto ilustra a importância da probabilidade condicional e como políticas podem ser equivocadas se as probabilidades condicionais forem negligenciadas.<ref name="Kahneman2011">{{citar livro|autor =Daniel Kahneman|titulo=Thinking, Fast and Slow|url=https://books.google.com/books?id=ZuKTvERuPG8C|acessodata=8 de abril de 2012|data=25 de outubro de 2011|editora=Macmillan|isbn=978-1-4299-6935-2}}</ref><ref name=":2" />

A importância da especificidade pode ser observada calculando–se que, mesmo se a sensibilidade for aumentada para 100% e a especificidade permanecer em 99%, a probabilidade do indivíduo ser um usuário de drogas subirá apenas de 33,2% para 33,4%. Entretanto, se a sensibilidade for mantida em 99% e a especificidade for aumentada para 99,5%, então a probabilidade do indivíduo ser um usuário de droga sobe para cerca de 49,9%.<ref name=":2" />

== Interpretações ==
[[Ficheiro:Bayes_theorem_visualisation.svg|miniaturadaimagem|300x300px|Visualização geométrica do teorema de Bayes. Na tabela, os valores 2, 3, 6 e 9 fornecem os pesos relativos de cada caso e condição correspondente. As imagens mostram as células da tabela envolvidas em cada métrica, sendo a probabilidade a fração de cada figura que está sombreada.
Isto mostra que:

<math>P(A\mid B) \times P(B) = P(B\mid A) \times P(A)</math>.
Isto é:

<math>P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A) \times P(A)}{P(B)}</math>.
Um raciocínio semelhante mostra que:

<math>P(\bar{A}\mid B) = \frac{P(B\mid \bar{A}) \times P(\bar{A})}{P(B)}</math>.
]]
A interpretação do teorema de Bayes depende da interpretação da probabilidade atribuída aos termos. As duas interpretações principais são descritas abaixo.

=== Interpretação bayesiana ===
Na interpretação bayesiana (ou epistemológica), a probabilidade mede o ''grau de crença''. O teorema de Bayes liga o grau de crença em uma posição antes e depois de se considerar as evidências. Por exemplo, acredita–se com 50% de certeza que uma moeda tem o dobro de probabilidade de cair cara. Se a moeda for jogada várias vezes, o grau de crença pode aumentar, diminuir ou se manter igual dependendo dos resultados observados (ver [[inferência bayesiana]]).<ref name=":5">{{citar web|url=https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3110753/mod_resource/content/1/aula2.pdf|titulo=O Teorema de Bayes|data=|acessodata=25 de maio de 2017|publicado=Universidade de São Paulo (USP)|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Para proposição <math>A</math> e evidência <math>B</math>:
* <math>P(A)</math> (probabilidade ''a priori'') é o grau de crença inicial em <math>A</math>;
* <math>P(A\mid B)</math> (probabilidade ''a posteriori'') é o grau de crença que representa <math>B</math>;
* O quociente <math>\frac{P(B\mid A)}{P(B)}</math> é o suporte que <math>B</math> fornece para <math>A</math>.<ref name=":5" />

=== Interpretação frequencista ===
[[Ficheiro:Bayes_theorem_tree_diagrams.svg|miniaturadaimagem|Ilustração da interpretação frequentista com o diagrama de árvore. O teorema de Bayes liga as probabilidades condicionais aos seus inversos.]]

Na [[Inferência frequencista|interpretação frequencista]], a probabilidade mede uma ''proporção de resultados''. Por exemplo, suponha-se que uma experiência seja realizada muitas vezes. <math>P(A)</math> é a proporção de resultados com propriedade <math>A</math> e <math>P(B)</math> é a proporção de resultados com propriedade <math>B</math>. <math>P(B\mid A)</math> é a proporção de resultados com propriedade <math>B</math>, excluindo os resultados sem propriedade <math>A</math>, e <math>P(A\mid B)</math> é a proporção de resultados com propriedade <math>A</math>, excluindo os resultados sem propriedade <math>B</math>.<ref>{{citar livro|título=Learn Business Analytics in Six Steps Using SAS and R: A Practical, Step—by—Step to Learning Business Analytics|ultimo=Tripathi|primeiro=Subhashini Sharma|editora=Apress|ano=2016|local=|página=132|total-páginas=218|acessodata=}}</ref>

== Probabilidades condicionais ==
{{AP|Probabilidade condicionada}}
O papel do teorema de Bayes é melhor visualizado com o diagrama de árvore. Os dois diagramas dividem os mesmos resultados em <math>A</math> e em <math>B</math> em ordens opostas, para obter as probabilidades inversas. O teorema de Bayes serve como ligação entre estas diferentes partições.{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=49-56}}

Por exemplo, um [[Entomologia|entomologista]] vê o que poderia ser uma rara subespécie de besouro devido a um padrão em suas costas. Nas subespécies raras, 98% dos indivíduos tem o padrão. Isto é, <math>P(\text{padrão}\mid \text{raro})=98\%</math>. Nas subespécies comuns, 5% dos indivíduos tem o padrão. Estas subespécies raras correspondem a apenas 0,1% da população. Então, qual a probabilidade do besouro com padrão ser raro? Em outras palavras, qual o valor de <math>P(\text{raro}\mid \text{padrão})</math>?{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=49-56}}

Da expressão estendida do teorema de Bayes (uma vez que qualquer besouro pode ser apenas raro ou comum), tem–se:

<math>\begin{align}
P(\text{raro}\mid \text{padrão}) &= \frac{P(\text{padrão}\mid \text{raro})P(\text{raro})} {P(\text{padrão}\mid \text{raro}) P(\text{raro}) + P(\text{padrão}\mid \text{comum})P(\text{comum})} \\[8pt]
&= \frac{0,98 \times 0,001} {0,98 \times 0,001 + 0,05 \times 0,999} \\[8pt]
&\approx 1,9\%
\end{align}</math>

Isto é, o besouro com um padrão nas costas encontrado pelo entomologista tem probabilidade de 1,9% de ser raro.{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=49-56}}

== Formas ==

=== Eventos ===

==== Forma simples ====
Para eventos <math>A</math> e <math>B</math>, dado <math>P(B) \neq 0</math>:

<math>P(A\mid B) = \frac{P(B \mid  A)\, P(A)}{P(B)}</math>.<ref name=":3">{{citar livro|título=Prognostics and Health Management of Engineering Systems: An Introduction|ultimo=Kim|primeiro=Nam-Ho|ultimo2=An|primeiro2=Dawn|ultimo3=Choi|primeiro3=Joo-Ho|editora=Springer|ano=2017|local=|página=93 — 94|total-páginas=346|acessodata=}}</ref>

Na inferência bayesiana, deseja-se saber o grau de crença em um evento (ou conjunto de eventos) <math>A</math>, condicionalmente à ocorrência de um evento (ou conjunto de eventos) <math>B</math> fixado (quantidade que é conhecida como distribuição ''a posteriori''). O teorema de Bayes mostra que a distribuição ''a posteriori'' é proporcional à probabilidade de <math>B</math> dado <math>A</math> (que corresponde à função de verossimilhança da amostra) vezes a probabilidade de A (chamada de probabilidade ''a priori'' ou grau de crença antes da coleta de evidências):

<math>P(A\mid B) \propto P(A) \times P(B\mid A) \ </math> (proporcionalmente sobre <math>A</math> para dado <math>B</math>).{{HarvRef|Lee|2012|p=capítulo 1}}<ref name=":3" />

==== Forma alternativa ====
Outra forma do teorema de Bayes que é geralmente encontrada quando são consideradas duas afirmações ou hipóteses concorrentes é:

<math>P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)\,P(A)}{ P(B\mid A) P(A) + P(B\mid A^c) P(A^c)}</math>.{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=71-72}}

Para proposição <math>A</math> e evidência <math>B</math>:
* <math>P(A)</math> (probabilidade ''a priori'') é o grau de crença inicial em <math>A</math>;
* <math>P(A^c)</math> é a probabilidade correspondente do grau de crença inicial contra <math>A</math>. <math>P(A^c) = 1 - P(A)</math>;
* <math>P(B\mid A)</math> (probabilidade condicional ou verossimilhança) é o grau de crença em <math>B</math>, dado que a proposição <math>A</math> é verdadeira;
* <math>P(B\mid A^c)</math>(probabilidade condicional ou verossimilhança) é o grau de crença em <math>B</math>, dado que a proposição <math>A</math> é falsa;
* <math>P(A\mid B)</math> (probabilidade ''a posteriori'') é a probabilidade para ''<math>A</math>'', após considerar <math>B</math> para e contra ''<math>A</math>''.<ref>{{citar web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2014/readings/MIT18_05S14_Reading20.pdf|titulo=Comparison of frequentist and Bayesian inference|data=18 de maio de 2014|acessodata=1 de junho de 2017|publicado=MIT OCW|ultimo=Orloff|primeiro=Jeremy|ultimo2=Bloom|primeiro2=Jonathan}}</ref>

==== Forma estendida ====
Para alguma partição <math>\{A_j\}</math> do espaço amostral, muitas vezes o espaço do evento é dado em termos de <math>P(A_j)</math> e <math>P(B\mid A_j)</math>. Isto é útil para calcular <math>P(B)</math>, usando a lei de probabilidade total:

<math>P(B) = {\sum_j P(B\mid A_j) P(A_j)} \Rightarrow P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum\limits_j P(B\mid A_j)\,P(A_j)}</math>.{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=71-72}}
=== Variáveis aleatórias ===
[[Ficheiro:Bayes_continuous_diagram.svg|miniaturadaimagem|Diagrama ilustrando o significado do teorema de Bayes como aplicado a um espaço de evento gerado por variáveis aleatórias contínuas <math>X</math> e <math>Y</math>. Existe uma instância do teorema de Bayes para cada ponto no domínio. Na prática, estas instâncias podem ser parametrizadas escrevendo as densidades de probabilidade específicas como funções de  <math>x</math> e <math>y</math>.
]]
Seja o espaço amostral <math>\Omega</math> gerado por duas variáveis aleatórias <math>X</math> e <math>Y</math>. Em princípio, o teorema de Bayes aplica–se aos eventos <math>A = \{X = x\}</math> e <math>B = \{Y = y\}</math>. Entretanto, os termos se tornam 0 nos pontos em que qualquer variável tem densidade de probabilidade finita. Para continuar útil, o teorema de Bayes pode ser formulado em termos de densidades relevantes.

==== Forma simples ====
Se <math>X</math> é contínua e <math>Y</math> é discreta,

<math>f_X(x\mid Y=y) = \frac{P(Y=y\mid X=x)\,f_X(x)}{P(Y=y)}.</math><ref name=":8">{{citar livro|título=SC505 Stochastic processes - Class notes|ultimo=Castañon|primeiro=D.|ultimo2=Karl|primeiro2=W. C.|editora=|ano=2004|local=Boston|páginas=27-28|acessodata=1 de junho de 2017}}</ref>

Se <math>X</math> é discreta e <math>Y</math> é contínua,

<math> P(X=x\mid Y=y) = \frac{f_Y(y\mid X=x)\,P(X=x)}{f_Y(y)}.</math><ref name=":8" />

Se <math>X</math> e <math>Y</math> são contínuas,

<math> f_X(x\mid Y=y) = \frac{f_Y(y\mid X=x)\,f_X(x)}{f_Y(y)},</math>

em <math>f_X</math> e <math>f_Y</math> representam as funções de distribuição de probabilidade de <math>X</math> e <math>Y</math>, respectivamente.<ref name=":8" />

==== Forma estendida ====
[[Ficheiro:Continuous_event_space_specification.svg|miniaturadaimagem|Diagrama ilustrando como um espaço de evento gerado por variáveis aleatórias contínuas <math>X</math> e <math>Y</math>geralmente é concebido.]]
Um espaço de evento contínuo muitas vezes é dado em termos dos termos do numerador. Então, é útil eliminar o denominador usando a lei de probabilidade total. Para <math> f_Y(y)</math>, isto se torna uma integral:

<math> f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_Y(y\mid X=\xi )\,f_X(\xi)\,d\xi .</math><ref name=":8" />

=== Regra de Bayes ===
A regra da Bayes é o teorema de Bayes na forma de chances:

<math>O(A_1:A_2\mid B) = O(A_1:A_2) \cdot \Lambda(A_1:A_2\mid B) </math>,

em que

<math>\Lambda(A_1:A_2\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)}{P(B\mid A_2)}</math>

é chamado de fator Bayes ou razão de verossimilhança. As chances entre os dois eventos é simplesmente a razão entre as probabilidades dos dois eventos.

Então,

<math>O(A_1:A_2) = \frac{P(A_1)}{P(A_2)},</math>

<math>O(A_1:A_2\mid B) = \frac{P(A_1\mid B)}{P(A_2\mid B)}.</math>

Portanto, a regra de Bayes afirma que as chances posteriores são as chances iniciais multiplicadas pelo fator de Bayes. Em outras palavras, as probabilidades ''a posteriori'' são proporcionais às probabilidades ''a priori''.{{HarvRef|Stone|2013|p=14-15}}

== Derivação ==

=== Para eventos ===
O teorema de Bayes pode ser derivado a partir da definição de probabilidade condicional:

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ se } P(B) \neq 0, \!</math>

<math>P(B\mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}, \text{ se } P(A) \neq 0, \!</math>

pois <math>P(B \cap A)=P(A \cap B)</math>.

Então,

<math>P(A \cap B) = P(A\mid B)\, P(B) = P(B\mid A)\, P(A) \!</math>

Logo, ajustando-se os termos, tem-se:

<math>P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}, \text{ se } P(B) \neq 0.</math>{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=41-42}}
=== Para variáveis aleatórias ===
Para duas variáveis aleatórias contínuas  <math>X</math> e <math>Y</math>, o teorema de Bayes pode ser analogamente derivado da definição de probabilidade condicional:<math>f_X(x\mid Y=y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} </math>

<math>f_Y(y\mid X=x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} </math>

<math>f_X(x\mid Y=y) = \frac{f_Y(y\mid X=x)\,f_X(x)}{f_Y(y)}.</math>{{Harvref|Farias|Laurencel|2006|p=41-42}}

== Ver também ==
* [[Filtro bayesiano]]
* [[Inferência bayesiana]]

{{Referências|col=2}}

== Leitura adicional ==
* {{citar periódico|titulo='''250 years of “An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. By the late Rev. Mr. Bayes, F.R.S. communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A.M.F.R.S.”'''|ultimo=Bruss|primeiro=F. Thomas|periodico=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung – Springer Journals|volume=115|numero=3-4|paginas=129-133|data=18 de setembro de 2013|doi=10.1365/s13291-013-0069-z}}
*{{citar livro|título=Estatística Básica|ultimo=Bussab|primeiro=Wilton de O.|ultimo2=Morettin|primeiro2=Pedro A.|editora=Saraiva|ano=2010|edicao=6|local=São Paulo|paginas=540|ref=harv}}
* {{citar web|titulo='''Bayesian Reasoning for Intelligent People'''|ultimo=DeDeo|primeiro=Simon|data=30 de novembro de 2016|url=http://tuvalu.santafe.edu/~simon/br.pdf|acessodata= 8 de junho de 2016}}
*{{citar web|url=http://www.uff.br/ieeanamariafarias/probabilidade|titulo=Probabilidade|data=2006|publicado=Universidade Federal Fluminense (UFF)|ultimo=Farias|primeiro=Ana Maria Lima de|ultimo2=Laurencel|primeiro2=Luiz da Costa|ref=harv}}
* {{citar livro|titulo='''Bayesian data analysis'''|ultimo=Gelman|primeiro=Andrew|ultimo2=Carlin|primeiro2=John B.|ultimo3=Stern|primeiro3=Hal S.|ultimo4=Dunson|primeiro4=David B.|ultimo5=Vehtari|primeiro5=Aki|ultimo6=Rubin|primeiro6=Donald B.|edicao=3|local=Boca Raton|editora=Chapman & Hall|ano=2014}}
* {{citar livro|titulo='''Introduction to Probability'''|ultimo1=Grinstead|primeiro1=Charles M.|ultimo2=Snell|primeiro2=J. Laurie|editora= American Mathematical Society|ano=2003|url=https://math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf}}
* {{citar livro|titulo='''Encyclopedia of mathematics'''|ultimo=Hazewinkel|primeiro=Michiel|ano=2001}}
* {{citar livro|titulo='''Essai philosophique sur les probabilités'''|ultimo=Laplace|primeiro=Pierre-Simon|editora=Bachelier|ano=1840|local=Paris|lingua=fr|url=https://fr.wikisource.org/wiki/Essai_philosophique_sur_les_probabilit%C3%A9s}}
* {{citar periódico|titulo='''Memoir on the probability of the causes of events'''|ultimo=Laplace|primeiro=Pierre-Simon|periodico=Statistical Science|volume=1|numero=3|paginas=364-378|ano=1986|jstor=2245476}}
* {{citar livro|titulo='''Bayesian statistics: an introduction'''|ultimo=Lee|primeiro=Peter M|editora=John Wiley & Sons|ano=2012|isbn=978-1-118-33257-3|paginas=486|edicao=4|ref = harv}}
* {{citar livro|titulo='''The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, and Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy'''|ultimo=Mcgrayne|primeiro=Sharon B.|editora=Yale University Press|local=London|ano=2011|jstor=j.ctt1np76s|ref=harv}}
* {{citar periódico|titulo='''Points of Significance: Bayes' theorem'''|ultimo1=Puga|primeiro1=Jorge L.|ultimo2=Krzywinski|primeiro2=Martin|ultimo3=Altman|primeiro3=Naomi|periodico=Nature Methods|ano=2015|volume=12|numero=4|paginas=277-278|url=https://www.nature.com/nmeth/journal/v12/n4/pdf/nmeth.3335.pdf}}
* {{citar livro|titulo='''Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities'''|ultimo=Rosenthal|primeiro=Jeffrey S.|editora=HarperCollins|ano=2005|edicao=1|isbn=978-0309097345}}
* {{citar periódico|titulo='''Laplace's 1774 Memoir on Inverse Probability'''|ultimo=Stigler|primeiro=Stephen M.|periodico=Statistical Science|ano=1986|volume=1|numero=3|paginas=359-378|url=http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ss/1177013620}}
* {{citar livro|titulo='''Bayes' Rule: A tutorial introduction to Bayesian Analysis'''|ultimo=Stone|primeiro=James V.|editora=Sebtel Press|ano=2013|edicao=1|isbn=978-0-9563728-4-0|ref=harv}}

==Ligações externas==
* [http://yudkowsky.net/rational/bayes An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem]
* [https://web.archive.org/web/20140202131520/http://rldinvestments.com/Articles/BayesTheorem.html Bayes Theorem and the Possibility of False Claims]
* [https://www.youtube.com/watch?v=Zxm4Xxvzohk Conditional Probability Explained Visually (Bayes' Theorem)]
* [http://jeff560.tripod.com/b.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=D8VZqxcu0I0 Explaining Bayesian Problems Using Visualizations]
* [http://www.celiagreen.com/charlesmccreery/statistics/bayestutorial.pdf Probability and Bayes’ Theorem]
* [http://www.nytimes.com/2011/08/07/books/review/the-theory-that-would-not-die-by-sharon-bertsch-mcgrayne-book-review.html The Mathematics of Changing Your Mind]
* Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html Bayes' Theorem.] From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource.

{{Portal3|Matemática|Probabilidade e Estatística}}

{{DEFAULTSORT:Teorema Bayes}}
[[Categoria:Teoremas probabilísticos|Bayes]]
[[Categoria:Inferência estatística]]
[[Categoria:Estatística]]