Mostrar código-fonte de Teoria moderna do portfólio

{{Reciclagem|ciência=sim|data=Fevereiro de 2008}}
[[Ficheiro:Fronteira Eficiente Markowitz.png|thumb|250px|Fronteira eficiente e Linha de mercado de capitais.]]

A '''teoria moderna do portfólio''', ou simplesmente '''teoria do portfólio''', explica como investidores racionais irão usar o princípio da diversificação para otimizar as suas [[Carteira de investimentos|carteiras de investimentos]], e como um ativo arriscado deve ser precificado. O desenvolvimento de modelos de otimização de portfólio tem origem na área [[Economia#Economia financeira|econômico-financeira]].

O trabalho pioneiro na área de otimização de portfólio foi à proposição do modelo média-[[variância]] por [[Harry Max Markowitz|Markowitz]] ([[1952]])..<ref>MARKOWITZ, H. Portfolio selection. ''The Journal of Finance'', v. 7, n. 1, p. 77-91, 1952.</ref> A teoria do portfólio estabelece que decisões relacionadas à seleção de investimentos devam ser tomadas com base na relação risco-retorno. Para auxiliar neste processo, modelos de otimização de portfólio têm sido desenvolvidos. De modo a serem efetivos, tais modelos devem ser capazes de quantificar os níveis de risco e retorno dos investimentos.

==História==

O estudante de Markowitz, [[William Forsyth Sharpe|William Sharpe]], junto com John Lintner e Jack Treynor, desenvolveram o que foi conhecido como o [[Modelo de Precificação de Ativos Financeiros|Modelo de Avaliação de Ativos Financeiros]] - ''Capital Asset Pricing Model'', no qual a determinante chave da taxa esperada de retorno de uma ação é o coeficiente <math>\beta</math> (beta) da ação, definido pela [[covariância]] de seu preço com o nível global do mercado.<ref>SHARPE, W. F. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. ''The Journal of Finance'', v. 19, n. 3, p. 425-442, 1964.</ref> O pressuposto fundamental foi o da [[diversificação]]: o [[risco idiossincrático]] (específico) de uma ação particular poderia ser diversificado, mas não o risco genérico de flutuações globais do mercado ([[risco sistêmico|sistêmico]]). Os investidores racionais requererem então lucros esperados mais altos para manter ações com um <math>\beta</math> alto, em contraposição a ações de <math>\beta</math>   baixo. O aparecimento da [[moderna teoria de finanças]] fez parte de uma revolução que teve um impacto fundamental sobre a velha área de finanças, largamente pré-teórica, e frequentemente baseada em um mundo de relações explícitas.<ref>{{Citar web |url=http://ssrn.com/abstract=1389863 |título=IQUIAPAZA, R.A., AMARAL, H.F.; BRESSAN, A.A. Evolução da Pesquisa em Finanças: Epistemologia, Paradigma e Críticas. ''Revista O&S: Organizações & Sociedade'', 2009. |língua= |autor= |obra= |data= |acessodata=}}</ref>

Então, os conceitos básicos da teoria do portfólio são: retorno esperado, [[Risco (administração)|risco]], diversificação, fronteira eficiente, os coeficientes alfa e beta, a linha de mercado de capitais, a linha de mercado de títulos e o modelo de precificação de ativos financeiros.

A teoria do portfólio considera a rentabilidade do ativo como uma [[variável aleatória]], e uma [[Carteira de investimentos|carteira]] como uma combinação ponderada de ativos, de modo que o retorno de uma carteira é a combinação ponderada dos retorno dos ativos. Além disso, o retorno da carteira é uma variável aleatória e, consequentemente, tem um valor esperado e uma variância. O risco, neste modelo, é o desvio-padrão do retorno.

== Risco e retorno ==
O modelo assume que os investidores são avessos ao risco, o que significa que dados dois ativos que oferecem o mesmo retorno esperado, os investidores preferem o de menor risco. Assim, um investidor aumentará o risco apenas se é compensado pelo aumento do rendimento esperado. Inversamente, um investidor que deseja obter rentabilidades superiores deve aceitar mais risco. A medida exata desse trade-off será diferente para cada investidor com base nas características individuais a aversão pelo risco. Como consequência um investidor racional não irá investir em uma carteira, se existe uma segunda alternativa com uma relação risco-retorno mais favorável - ou seja, para um mesmo nível de risco existe uma carteira alternativa que tem melhor rendimento esperado.
Resumindo, os investidores sabem que um dos princípios a ter em conta quando fazem um investimento, é o tipo de risco que lhe está associado, e o retorno que podem vir a ter com esse investimento. 
O risco poderá ser maior ou menor, e resultar em ganho ou perda. Quanto maior for o risco do investimento, maior deverá ser o seu retorno. Não existem garantias absolutas que um investimento de risco possa corresponder às expectativas do investidor, o lucro poderá ser bastante inferior ao que seria esperado. O risco é efetivamente uma incerteza e ao prolongar-se no tempo mais incerto se torna.. Se o investimento for aplicado em ações, o risco está diretamente ligado a situações imprevisíveis tais como a especulação, flutuações de mercado, factores politicos, factores econômicos. Como forma de prevenção, os investimentos devem ser diversificados, investir em vários tipos de ativos vai permitir diferentes tipos de retorno e diminuir o risco, desta forma o investimento estará mais protegido e a segurança será maior.

== Média e variância ==
Assume-se ainda que a preferência de risco / retorno do investidor pode ser descrita através de uma [[função de utilidade]] quadrática. O efeito deste pressuposto é que apenas o retorno esperado e a volatilidade (isto é, o retorno médio e o desvio padrão) importam para o investidor. O investidor é indiferente a outras características da distribuição do retorno, tais como a sua [[obliquidade|assimetria]]  ou [[curtose]].

A teoria utiliza um parâmetro, a [[Volatilidade (finanças)|volatilidade]], como uma ''proxy'' de risco, enquanto a rentabilidade é uma expectativa sobre o futuro. Isto está em sintonia com a [[hipótese de eficiência de mercado]] e a maior parte estudos clássicos das finanças modernas, como o modelo de [[Black-Scholes|Black e Scholes]] para precificação de [[opções europeias]] ([[modelo de martingais]]: em suma significa que a melhor previsão para amanhã é o preço de hoje). As recentes inovações em teoria do portfólio , especialmente na chamada de [[Teoria do Portfólio Pós-Moderna]], tem exposto diversas falhas na consideração da variância como proxy do risco do investidor:

* A teoria utiliza um parâmetro histórico, a volatilidade, como uma proxy de risco, enquanto a rentabilidade é uma expectativa sobre o futuro. (Note-se porém que este está em consonância com a Hipótese da Eficiência e da maioria dos achados clássicos em finanças, tais como [[Black-Scholes|Black e Scholes]], que usam o modelo de martingais, ou seja, o pressuposto de que a melhor previsão para amanhã é o preço de hoje) .
* A afirmação de que "o [[investidor]] é indiferente a outras características" não parece ser verdade dado que a assimetria do risco parece ser precificada pelo mercado [citação necessária].

De acordo com o modelo:

* O retorno da carteira é a combinação ponderada da proporção de retorno dos ativos que a constituem.
* A volatilidade da carteira é uma função da correlação ρ dos ativos componentes. A alteração na volatilidade é não-linear com a mudanças na ponderação dos ativos componentes.

Estes modelos são utilizados para auxiliar na determinação da carteira de ativos financeiros que apresente a melhor relação [[Cálculo de risco|risco]] versus retorno sob o ponto de vista de um investidor. A principal motivação para o desenvolvimento destes modelos se relaciona à redução do [[Cálculo de risco|risco]] a que o investidor está exposto, através da diversificação ou balanceamento da carteira. A diversificação é uma forma poderosa de redução do [[Cálculo de risco|risco]], pois os retornos oferecidos por diferentes ativos não se movem em conjunto.

Farias (2003, p.&nbsp;28) também explica que a teoria do portfólio procura mostrar como se dão as decisões de investimentos dos agentes em uma situação envolvendo [[Cálculo de risco|risco]]. Assim, de acordo com essa teoria são estimados retornos esperados, aos quais são atribuídas probabilidades de ocorrência, de forma a construir uma função de frequência destes. Considera-se a medida de tendência central dessa função de frequência como apropriada para representar o retorno do ativo.

Tal proposição parte do princípio que, para o investidor, o retorno esperado e a [[volatilidade]] dos prováveis retornos são aspectos cruciais na definição do [[Carteira de investimentos|portfólio]] ótimo. O problema é formulado de modo a se minimizar o risco do portfólio para um dado nível de retorno requerido pelo investidor, e, ou maximizar o nível de retorno esperado do portfólio associado a um dado nível de [[Cálculo de risco|risco]].

Com vista à modelização do padrão de comportamento dos retornos é frequente recorrer à distribuição normal em que existe maior probabilidade de obtenção de retornos na zona central da distribuição (isto é, próximos de zero) e em que a probabilidade de obtenção de valores extremos (muito altos ou muito baixos) é reduzida (o que se designa por “caudas finas”). Com efeito a distribuição é normal e tem um comportamento em forma de sino (o que significa que é simétrica), conseguindo  assim  reproduzir  o  comportamento  acima  descrito,  ou  seja, <math>R \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, onde <math>R</math> designa o retorno de um activo, <math>\mu</math> o retorno médio e <math>\sigma</math> o desvio padrão (sobre a distribuição normal, ver [[distribuição normal]]).
O desvio padrão dos retornos só deve ser usado como medida de risco quando a distribuição dos mesmos é simétrica (como é o caso da normal).
Quando o desvio padrão é mais baixo, os retornos concentram-se mais em torno da média, o que representa um risco menor, enquanto um desvio padrão mais elevado significa que a distribuição dos retornos é mais difusa, representando um maior risco.
Como exemplo suponha-se que o retorno mensal de um ativo é normal de média 1,5% e um desvio padrão de 3%. Qual é a probabilidade de obter um retorno negativo num qualquer mês?
Designando o retorno  mensal do referido ativo por <math>R</math> tem-se <math>R\sim N\left(1,5; 3^2\right)</math>. Assim, quer-se <math>P\left(R <0\right) = 0,3085</math> o que é muito fácil de obter a partir da tabela da distribuição normal publicada ou do Excel, onde usaríamos a função DIST.NORM(0;1,5;3;1).

No entanto, a suposição de normalidade dos retornos nem sempre é válida e existem desvios da normalidade que invalidam o recurso ao desvio padrão como medida adequada de risco. Um dos desvios possíveis consiste na existência de valores extremos (positivos ou negativos) com uma probabilidade considerável, o que a distribuição normal não consegue acomodar porque, conforme referido acima, tem “caudas finas”. Quando as caudas de uma distribuição são “espessas”, a massa de probabilidade nelas concentrada é superior ao que é dado pela distribuição normal, existindo por isso menor massa de probabilidade no centro da distribuição. Apesar de a simetria continuar a ser válida, numa distribuição com caudas “espessas” o desvio padrão subestima a possibilidade de ocorrência de valores extremos, ou seja, de grandes perdas ou grandes ganhos (retornos fortemente negativos ou positivos respectivamente) – para medir a espessura das caudas (designada por curtose ou achatamento), utiliza-se habitualmente o coeficiente que pode ser visto em [[Curtose]]. Distribuições com caudas mais “espessas” do que a normal e que podem ser utilizadas para este efeito são a distribuição t de Student [[Distribuição t de Student]], ou a distribuição generalizada de valores extremos [[Distribuição generalizada de valores extremos]].

Outro desvio possível da normalidade é a assimetria. Quando a distribuição dos retornos é assimétrica positiva (cauda direita alongada), o [[desvio padrão]] sobre-estima o risco porque os desvios (em relação ao esperado) positivos extremos, não sendo uma fonte de grande preocupação para o investidor (porque a probabilidade da sua ocorrência é baixa), aumentam a variabilidade. De forma semelhante, quando a distribuição é assimétrica negativa (cauda esquerda alongada), o desvio padrão subestima o risco. Com efeito, quando a taxa de retorno composta em contínuo de um activo tem distribuição normal em qualquer instante, a taxa de retorno efetiva tem distribuição lognormal que é a distribuição de uma variável cujo logaritmo se encontra normalmente distribuído e que é assimétrica positiva [[Distribuição log-normal]].
Suponhamos que a taxa de retorno composta em contínuo anual rcc segue distribuição normal com média geométrica de <math>\lambda</math> e desvio padrão <math>\sigma</math> (relembre-se que a média geométrica é a taxa anual composta que permite obter o valor final observado de um ativo ou de um portfolio). Em consequência, a média aritmética, que é o retorno esperado anual, será superior à média geométrica em metade da variância.  Logo, o retorno esperado da taxa composta em contínuo é <math>\mu=\lambda+\sigma^2/2</math> e a taxa anual efetiva é
<math>E\left(r\right)=e^{\lambda+\sigma^2/2}-1</math>. Em consequência, o valor final de um activo ou de um portfolio acumulado em N anos será <math>\left[1+E\left(r\right)\right]^N</math>. Também é possível calcular o valor final acumulado em termos da taxa composta em contínuo com uma média anual de <math>\mu</math> e desvio padrão de <math>\sigma</math>, ou seja, <math>\left[1+E\left(r\right)\right]^N=\left(e^{\lambda+\sigma^2/2}\right)^N=e^{N\lambda+N\sigma^2/2}</math>. Note-se que a média da taxa composta em contínuo <math>\left(N\mu\right)</math> e a variância <math>\left(N\sigma^2\right)</math> são proporcionais ao horizonte do investimento, ou seja, <math>N</math>, o que significa que o desvio  padrão aumenta no tempo a uma taxa de <math>N^{1/2}</math>. Isto é a origem do que parece ser uma diminuição do risco de investimento no longo prazo – uma vez que o retorno esperado aumenta no tempo a uma taxa superior à do [[desvio padrão]], o retorno esperado de um investimento a longo prazo com elevado risco torna-se ainda maior relativamente ao seu desvio padrão.

{{Referências}}

== Ver também ==
* [[Modelo de Precificação de Ativos Financeiros]]
* [[Carteira de investimentos]]
* [[Cálculo de risco]]

== Ligações externas ==
* {{Link||2=http://www.clubeinvest.com/bolsa/portfolio.managers.php |3=Portfolio Managers}} - fonte Clubeinvest
* {{Link||2=http://www.clubeinvest.com/bolsa/show_futures_technical_analysis.php?id=862 |3=Índice de Sharpe, definição e exemplos práticos}} Aplicação do Desvio Padrão no Índice de Sharpe
*[http://www.ifcmarkets.com/pt/portfolio-trading/portfolio-three-leaders A teoria de portfólio aplicada para a criação de instrumentos complexos]
*[http://www.portfoliospread.com/learning-center/modern-portfolio-theory Modern Portfolio Theory (em inglês)]

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