Mostrar código-fonte de Valor eficaz

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Em [[matemática]], a '''raiz do valor quadrático médio''' ou '''RMS''' (do [[Língua inglesa|inglês]] ''root mean square'') ou '''valor eficaz''' é uma medida [[estatística]] da [[magnitude]] de uma quantidade variável. Pode calcular-se para uma série de valores discretos ou para uma [[Função matemática|função]] variável contínua. O nome deriva do fato de que é a [[raiz quadrada]] da [[média aritmética]] dos [[Exponenciação|quadrados]] dos valores. É um caso especial da [[Média generalizada|potência média]] com o expoente ''p''&nbsp;=&nbsp;2.

== Definição ==
O RMS para uma coleção de N valores {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... , ''x''<sub>N</sub>} é dado pela fórmula '''(1)''':

:<math> (1)
x_{\mathrm{rms}} =
\sqrt {{1 \over N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2} =
\sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2} \over N}
</math>

Para uma função variável contínua '''f(t)''' definida sobre o intervalo  T<sub>1</sub> ≤ '''t''' ≤ T<sub>2</sub> o RMS é dado pela expressão:

:<math> (2)
x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2 - T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}}.
</math>

O valor ''rms'' para uma função ao longo do tempo é:

:<math> (3)
f_\mathrm{rms} = \lim_{T\rightarrow \infty} \left ( \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {[f(t)]}^2\, dt}} \right ).
</math>

O RMS ao longo do tempo para uma [[função periódica]] é igual ao RMS de um período da função. O valor RMS de uma função ou sinal contínuos pode ser avaliado, tomando o RMS de uma série de amostras, igualmente espaçadas no tempo.

== Equações para calcular os valores RMS de formas de onda comuns ==
{| class="wikitable" border="1"
|-----
| colspan="3" | Grandezas e Unidades:<br />''''''t:'''''' tempo em Segundos (s)<br />''''''f:'''''' Frequencia em Hertz (Hz)<br />''''''a:'''''' amplitude (valor de pico). Pode ser qualquer grandeza física, ex.: Corrente (Ampéres), Tensão (Volts), Força (Newtons), etc<br />''''''%:'''''' é a operação "Resto da divisão inteira"<br />Ex.:<br />10 / 3 = 3,333333...<br />10 % 3 = 0,333333...
|-----
| Forma de Onda || Equação
<td>RMS
|-----
<td>Senoide <sup>(pt-BR)  </sup>/ Sinusoide <sup>(pt-PT)</sup>
<td><math>y=a\sin(2\pi ft)\,</math>
<td><math>\frac{a}{\sqrt{2}}</math>
|-----
| Onda Quadrada
<td><math>y=\begin{cases}a & ((ft) \% 1) < 0.5 \\ -a & ((ft) \% 1) > 0.5 \end{cases}</math>
<td><math>a\,</math>
|-----
| Senoide / Sinusoide e Modificada
<td><math>y=\begin{cases}0 & ((ft) \% 1) < 0.25 \\ a & 0.25 < ((ft) \% 1) < 0.5 \\ 0 & 0.5 < ((ft) \% 1) < 0.75 \\ -a & ((ft) \% 1) > 0.75 \end{cases}</math>
<td><math>\frac{a}{\sqrt{2}}</math>
|-----
| Onda "Dente-de-Serra"
<td><math>y=0.5-2a((ft)\%1)\,</math>
<td><math>a \over \sqrt 3</math>
|}

== Utilização ==
O valor eficaz de uma função é frequentemente usado na [[física]] e na [[eletrônica]]. Por exemplo, nós podemos calcular a [[potência (física)|Potência]] ''P'' dissipada por um condutor elétrico de resistência ''R''.  Ela é fácil de se calcular quando uma corrente constante (I) percorre o condutor, que é simplesmente:

:<math>(4)\qquad\qquad P = I^2 R</math>

ou, considerando uma tensão eléctrica V, é aplicada a uma resistência R, fica:

:<math>(5)\qquad\qquad P = {V^2 \over R}</math>

Mas e se a corrente é uma função I(''t'') que varia seu valor no tempo? É neste momento que se utiliza o valor eficaz. Neste caso, pode-se substituir o valor da corrente constante ''I'' pelo valor eficaz da função I(''t'') na equação acima para se obter a potência dissipada média, assim:

:<math>(6)\qquad\qquad P = I_\mathrm{rms}^2 R</math>

Alternativamente, se a tensão é uma função V(''t'') que varia seu valor no tempo, a potência dissipada média é dada pela equação:

:<math>(7)\qquad\qquad P = {V_\mathrm{rms}^2 \over R}</math>

No caso comum da [[corrente alternada]], quando I(''t'') é uma corrente [[senóide|senoidal]], tal como se verifica na energia eléctrica distribuída na rede pública, o valor RMS é fácil de calcular a partir da equação (2) acima indicada.  O resultado é:

:<math>(8)\qquad\qquad {I_\mathrm{rms}} = {I_p \over {\sqrt 2}}</math>

ou, no caso da tensão:

:<math>(9)\qquad\qquad {V_\mathrm{rms}} = {V_p \over {\sqrt 2}}</math>

em que ''I''<sub>''p''</sub>  e ''V''<sub>''p''</sub> são os valores de pico (amplitude).

O valor RMS pode ser calculado usando a equação (2) para qualquer forma de onda, por exemplo, um sinal de áudio ou de rádio.  Assim, podemos calcular a potência média fornecida a uma carga específica. Por esta razão, as tensões indicadas em tomadas de energia e equipamentos eléctricos, (127V ou 220V) são os valores RMS e não os valores de pico (amplitudes).

No campo de áudio, potência média é frequentemente (e de forma errada) designada  [[Potência de Áudio|potência RMS]]. Isto deve-se provavelmente derivado de Tensão RMS ou corrente RMS. Além disso, como o valor RMS implica alguma forma de valor médio, expressões como "potência RMS de pico", frequentemente utilizadas em anúncios de amplificadores de áudio, não têm qualquer significado.

== Relação entre média aritmética e desvio padrão ==
Se <math>\bar{x}</math> for a [[média aritmética]] e <math>\sigma_{x}</math> o [[desvio padrão]] de uma população, então:
:<math>x_{\mathrm{rms}}^2 = \bar{x}^2 + \sigma_{x}^2.</math>

== Ver também ==
* [[Desvio padrão]]
* [[Tabela de símbolos matemáticos]]

{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática|Estatística}}
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[Filmes didáticos de Circuito]
* {{Link||2=http://www.dmcsi.fee.unicamp.br/curiosidades_filmes.html |3=}}

-->

{{Portal3|Probabilidade e Estatística}}

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[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Eletricidade]]
[[Categoria:Engenharia]]
[[Categoria:Médias]]