Achatamento

Círculo de raio a comprimido a uma elipse

Achatamento, em cartografia, é uma medida da compressão de um círculo ou uma esfera ao longo de um diâmetro para formar uma elipse ou um elipsoide de revolução (esferoide) respectivamente. Outro termo utilizado é elipticidade. A notação usual para o achatamento é f e sua definição em termos dos semi-eixos da elipse ou elipsóide resultantes é

$\mathrm {achatamento} =f={\frac {a-b}{a}}.$

O fator de compressão é b/a em cada caso. Para a elipse, este factor é também a razão de aspecto da elipse.

Também pode ser definido como a razão entre a diferença entre os dois raios, equatorial (a) e polar (b), e o raio equatorial, em uma elipse, que pode ser expresso como uma função da excentricidade angular, $o\!\varepsilon \,\!$:

${}_{\color {white}x}f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\sin ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}};\,\!$

O valor obtido indica quanto o elipsóide se aproxima da forma esférica (razão 0).

Há duas outras variantes do achatamento (veja abaixo), e quando é necessário para evitar a confusão o achatamento acima é chamado de primeiro achatamento. As definições seguintes podem ser encontradas em textos normalizados e textos da web on-line

Definições de achatamento

No seguinte, a representa a dimensão maior (e.g. semi-eixo maior), enquanto b é o (semi-eixo menor) menor. Todos os achatamentos são zero para um círculo (a=b).

(primeiro) achatamento	$f\,\!$	${\frac {a-b}{a}}\,\!$	Fundamental. A inversa 1/f é a escolha normal para os elipsóides de referência geodésicos.
segundo achatamento	$f'\,\!$	${\frac {a-b}{b}}\,\!$	Raramente usado.
terceiro achatamento	$n\quad (f'')\,\!$	${\frac {a-b}{a+b}}\,\!$	Utilizado nos cálculos geodésicos como um pequeno parâmetro de expansão.

O terceiro achatamento pode ser derivado da seguinte forma:

$f'=\tan ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)={\frac {1-\cos(o\!\varepsilon )}{1+\cos(o\!\varepsilon )}}={\frac {a-b}{a+b}}.\,\!$