Axioma da extensão

O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência ( $\in$ ) e igualdade de conjuntos ( $=$ ) estão relacionadas. O seu enunciado diz:

Se dois conjuntos $x$ e $y$ são tais que todo elemento de $x$ é elemento de $y$ e todo elemento de $y$ é elemento de $x$ , então $x$ e $y$ são iguais.

Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma:

\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y).

O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos.

Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos^[1], que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando $x\in y$ sempre que $x$ for ancestral de $y$ . É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais.

Em termos da inclusão de conjuntos ( $\subset$ ) podemos ainda expressar o axioma da extensão como^[2]

\forall x\forall y((x\subset y\wedge y\subset x)\rightarrow x=y).

Em palavras,

A inclusão de conjuntos é anti-simétrica.

A recíproca do axioma da extensão,

\forall x\forall y(x=y\rightarrow \forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)),

é evidentemente verdadeira^[3] e alguns autores referem-se a proposição completa

\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\leftrightarrow x=y)

como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma^[4].

Ver também

Extensionalidade

Notas

↑ Predefinição:Smallcaps, pp. 4 e 5
↑ Note que
$\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)$

$\equiv \forall z((z\in x\rightarrow z\in y)\wedge (z\in y\rightarrow z\in x))$

$\equiv \forall z(z\in x\rightarrow z\in y)\wedge \forall z(z\in y\rightarrow z\in x)$

$\equiv x\subset y\wedge y\subset x$
↑ Mera substituição de $y$ por $x$ é o suficiente para verificá-la.
↑ É dedutível.