Constante de Euler-Mascheroni

A área da região em azul converge para a constante de Euler-Mascheroni

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama ($\gamma$ ) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)$

que pode ser condensada assim :

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over E(x)}-{1 \over x}\right)\,dx$

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial $e^{x}$ para determinados valores de $x$

Valor aproximado

As 100 primeiras casas decimais dessa constante são

γ ≈ 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 casas decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

História

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10²⁴²⁰⁸⁰ dígitos (Havil, page 97).

Convergência

Como podemos escrever:

${\begin{aligned}\ln n&=[\ln n-\ln(n-1)]+[\ln(n-1)-\ln(n-2)]+\ldots +[\ln 2-\ln 1]+\ln(1)\\&=\sum _{k=2}^{n}\,[\ln k-\ln(k-1)]\end{aligned}}\,$

Como $\ln k-\ln(k-1)=\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\,$

$\gamma =1+\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\right)$

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

${\frac {1}{k}}\leq \int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\leq {\frac {1}{k-1}},k=2,3,4\ldots \,$

$\sum _{k=2}^{\infty }\left|{\frac {1}{k}}-\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\right|=\sum _{k=2}^{\infty }\left(\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}-{\frac {1}{k}}\right)\leq \sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right)$

Essa última expressão corresponde à

$\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right)=-\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k-1}}\right)$

Que é a série telescópica Dessa forma,

$\sum _{k=2}^{\infty }\left(\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}-{\frac {1}{k}}\right)\leq \sum _{k=2}^{\infty }\left|{\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right|=\left|-1\right|=1$

Propriedades

O número $\gamma$ não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se $\gamma$ é irracional ou não. A análise de frações contínuas revela que se $\gamma$ é racional, seu denominador deve ser da ordem de $10^{242080}$. Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de $\gamma$ está os problemas abertos mais importantes da Matemática.

A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de $\gamma$ com funções, séries e integrais.

Representação Original (Euler)

Foi descoberta em 1734, por Euler, representando $\gamma$ como uma série infinita da seguinte forma:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]$

Relação com a Função Gama

Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos -$\gamma$. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:

$-\gamma ={\Gamma }'(1)=\Psi (1)\,\!$

também como o limite:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[n-\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\right]$

O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:

$-\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+{1 \over n}}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]$

e como função beta:

$-\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[n^{2+{1 \over n}}\,\mathrm {B} \left(1+{\frac {1}{n}},\,n+1\right)-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]$

Relação com a Função Zeta de Riemann

$\gamma$ pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\zeta (k)}{k}}=\log \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}\zeta (k+1)}{2^{k}(k+1)}}$

Outras séries relacionadas com a função zeta são:

$\gamma ={\frac {3}{2}}-\log 2-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {k-1}{k}}[\zeta (k)-1]=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\log \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k\,n}}{(k+1)!}}\sum _{t=0}^{k}{\frac {1}{t+1}}-n\,\log 2+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]$

O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante $\gamma$ com extrema precisão.

Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:

$\gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)$

Representação com Integrais

$\gamma$ é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:

${\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\log x}\,dx\\{}&=-\int _{0}^{1}{\log \log \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx\\{}&=\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)e^{-x}}\,dx\\{}&=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx\\\end{aligned}}$

Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante $\gamma$ estão:

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\log x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\log ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Uma expressão em que se expressa $\gamma$ como uma integral dupla, com sua série equivalente é:

$\gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)$

Representação com Séries

Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:

$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}$

encontrada por Nielsen em 1897.

Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a $\gamma$:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots$

onde [ ] é a função piso e $\log _{2}$ é o logaritmo de base 2 ;

Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:

$\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}\left({\tfrac {1}{4}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}\right)+{\tfrac {1}{9}}\left({\tfrac {1}{9}}+\dots +{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots$

que também pode ser escrita como:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {2}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}\left({\tfrac {1}{5^{2}}}+{\tfrac {2}{6^{2}}}+{\tfrac {3}{7^{2}}}+{\tfrac {4}{8^{2}}}\right)+{\tfrac {1}{3^{2}}}\left({\tfrac {1}{10^{2}}}+\dots +{\tfrac {6}{15^{2}}}\right)+\dots$

As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)

$\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx$

Representação em forma de fração contínua

A representação de $\gamma$ em termos de fração contínua é:

$\gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}$

mais precisamente:

$\gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]\,$ Predefinição:OEIS.

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 – 100
• Predefinição:Citar periódico Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
• Predefinição:Citar livro (en inglés)
• Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en inglés)
• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
• Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés)
• ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
• ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin. (en inglés)
• ------ (2003) "An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
• ------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en inglés)
• ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en inglés)
• ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en inglés)
• ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.