Constante de Gelfond

Em matemática, a constante de Gelfond, nomeada em memória de Alexander Gelfond, é e^π, isto é, e na potência π. Assim como e e π, esta constante é um número transcendental. Isto foi estabelecido a primeira vez por Gelfond e pode atualmente ser considerado uma aplicação do teorema de Gelfond-Schneider, observando que

e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}

sendo i a unidade imaginária. Como −i é algébrico, mas certamente não racional, e^π é transcendental. A constante foi mencionada no sétimo problema de Hilbert.^[1] Uma constante relacionada é $2^{\sqrt {2}}$ , conhecida como constante de Gelfond–Schneider. O valor relacionado π + e^π é também irracional.^[2]

Valor numérico

A expansão decimal da constante de Gelfond começa com

e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.

Se definirmos $\scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ e

k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}

para $n>0$ , então a sequência^[3]

(4/k_{n+1})^{2^{-n}}

converge rapidamente para $e^{\pi }$ .

O volume da bola n-dimensional é dado por:

V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.

sendo $R$ seu raio e $\Gamma$ é a função gama. Qualquer bola unitária de dimensionalidade par tem volume:

V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\

.

Somando todos os volumes das bolas unitárias de dimensionalidade par obtemos:^[4]

\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.

Alan Baker e Gisbert Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs 9, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2