Derivada material

Em matemática, a derivada material (também chamada de derivada substancial) é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade v, e é frequentemente utilizada em mecânica dos fluidos e mecânica clássica. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo do valor de alguma propriedade (tal como calor ou momento) de matéria/substância que está sendo transportada. Ou seja, de alguma matéria que está sujeita a um campo de velocidade que varia no espaço e no tempo.

Há vários outros nomes ao operador, incluindo:

• derivada substantiva
• derivada substancial
• derivada Lagrangiana
• derivada de Stokes

Definição

A derivada material de um campo escalar φ( x, t ) e de um campo vetorial u( x, t ) são definidas respectivamente como:

${\frac {D\varphi }{Dt}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \varphi ,$

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {u} ,$

onde a distinção é que $\nabla \varphi$ é o gradiente de um escalar, enquanto $\nabla \mathbf {u}$ é a derivada tensorial de um vetor. No caso de uma derivada material de um campo vectorial, o termo v•∇u pode tanto ser interpretado como v•(∇u) envolvendo a derivada tensorial de u, ou como as (v•∇)u, levando ao mesmo resultado.

Inconvenientemente, o termo derivada convectiva é utilizada por vezes tanto para se referir a derivada material Dφ/Dt ou Du/Dt, quanto para o termo referente a taxa de variação espacial, v•∇φ ou v•∇u.

Ver também

• Equações de Navier-Stokes
• Equações de Euler (fluidos)