Elemento primo

Seja $A$ um anel comutativo. Um elemento $x\in A^{*}$ (onde $A*$ é o conjunto das unidades de $A$) é primo se $x|ab$ com $a,b\in A$ então $x|a$ ou $x|b$.

Exemplo

Seja $x\in \mathbb {N}$ um primo. Suponha $x$ composto então existem $a,b\in \mathbb {Z}$ com $a<x$ e $b<x$ tal que $x=ab$. Como $x|x$ logo $x|ab$ então $x|a$ ou $x|b$ que é contradição já que $a<x$ e $b<x$. Logo $x$ não é composto então x é irredutivel.

Agora seja $x\in \mathbb {N}$ um irredutivel. Logo se $x=ab$ então $x=a$ ou $x=b$ logo $x|a$ ou $x|b$. Assim $x$ é primo.

Então um número natural em $\mathbb {Z} \,$ é primo se e só se ele for irredutivel.