Equação de Pell

Na matemática, mais especificamente dentro das equações Diofantinas, a equação de Pell é a equação " $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ ".

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell e foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII. A equação de Pell é um caso especial da equação diofantina quadrática e tem a forma:

$x^{2}-ny^{2}=1$.

Onde n é um inteiro positivo.

Se n não possui raiz exata, então existem infinitas soluções inteiras $x,y$ (Se n tiver raíz exata pode-se mostrar que a única solução é $x=\pm 1$ e $y=0$ ).

Nas coordenadas cartesianas, a equação que tem a forma de uma hipérbole; soluções ocorrem sempre que a curva passa através de um ponto cujas coordenadas $x$ e $y$ são ambas números inteiros, tais como a solução trivial com em $x=1$ e $y=0$. Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que $n$ não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas. Estas soluções podem ser usadas para aproximar com precisão a raiz quadrada de $n$ pelos números racionais de forma $x/y$

Uma solução

Considere os coeficientes da fração continuada de ${\sqrt {n}}$ e r o índice a partir do qual os coeficientes ficam periódicos.

Se r é par, seja $x=p_{r-1}$ e $y=q_{r-1}$. Caso contrário, seja $x=p_{2r-1}$ e $y=q_{2r-1}$. Surpreendentemente, existe um teorema que diz que x, y representam a menor solução inteira positiva para (1). Predefinição:Referências