Equações homogêneas de primeira ordem

Entre os principais tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem encontramos as equações diferenciais homogêneas. O termo homogêneas provem do fato que o lado direito da equação diferencial é, nesse caso, uma função homogênea de grau qualquer. Para tais equações, uma substituição de variável conveniente permite reescrever a equação diferencial como sendo uma equação de variáveis separáveis. E então, resolve-se a equação obtida usando o método da separação de variáveis. Por fim, volta-se a variável original de forma a obter a solução em termos da variável primitiva. Essa metodologia, descrita a seguir, permite resolver todas as equações diferenciais ordinárias incluídas nessa classe.

Definição

Seja $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ um domínio. Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dita estar na forma simétrica ou na forma diferencial, se ela é da forma

$P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0$, em que $P,Q\in C(\Omega )$.

Uma função $h(t,y)$ é dita ser homogênea de grau $m$, se, $\forall \ \xi >0$,

$h(\xi t,\xi y)=\xi ^{m}h(t,y)$.

Uma equação diferencial ordinária é dita ser homogênea de primeira ordem se ela é da forma

$P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0,$

em que $P$ e $Q$ são funções homogêneas de mesmo grau.

Exemplos

1) $tdy+\left(t{\sqrt {{\frac {y}{t}}-1}}-y\right)dt=0.$

Neste caso $P(t,y)=t{\sqrt {{\frac {y}{t}}-1}}-y$ e $Q(t,y)=t$ são homogêneas de grau 1.

2) $y'={\frac {(2t+y)y}{t^{2}}}.$

Como $y'={\frac {dy}{dt}}$, segue que

$P(t,y)=-(2t+y)y$ e $Q(t,y)=t^{2}$. Note que ambas são homogêneas de grau 2.

Existência e unicidade

Se $P,Q,\partial _{y}P,\partial _{y}Q\in C(\Omega )$ e $Q(t,y)\neq 0$ em $\Omega$. Então a equação homogênea de primeira ordem acima com a condição inicial $y(t_{0})=y_{0}$, tem única solução para qualquer escolha de $(t_{0},y_{0})\in \Omega$ .

Resolvendo uma equação homogênea de primeira ordem

Faz-se a mudança de variável $y=tu$ em que $u$ é uma função desconhecida de $t$. Logo, $dy=dtu+tdu$ .

Daí, ${\frac {dy}{dt}}=u+t{\frac {du}{dt}}$. Além disso, $P(t,y)=P(t,tu)=t^{m}P(1,u)$ e $Q(t,y)=Q(t,tu)=t^{m}Q(1,u)$.

Substituindo na equação homogênea de primeira ordem obtemos

$t^{m}P(1,u)dt+t^{m}Q(1,u)(udt+tdu)=0$

$(P(1,u)+uQ(1,u))dt+tQ(1,u)du=0$

ou

${\frac {du}{dt}}=-{\frac {P(1,u)+uQ(1,u)}{Q(1,u)}}{\frac {1}{t}}$.

Que é uma equação separável. A qual pode ser resolvida usando o método da separação de variáveis.