Fecho simétrico

Em matemática, o fecho simétrico de uma relação binária R em um conjunto é a menor relação simétrica em X que contém R.

Definição

O fecho simétrico S de uma relação R em um conjunto X é dado por

$S=R\cup \left\{(x,y):(y,x)\in R\right\}.\,$

Em outras palavras, o fecho simétrico de R é a união de R com a sua relação inversa, R ^-1.

Exemplos

• Se X é um conjunto de aeroportos e xRy significa "há um voo direto do aeroporto x para o aeroporto y", então o fecho simétrico de R é a relação "há um voo direto de x para y ou de y para x".
• Se X é o conjunto dos humanos (vivos ou mortos) e R é a relação 'pai de', então o fecho simétrico de R é a relação "x é pai ou filho de y".
• Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. O fecho em relação à simetria é
  {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}

Ver também

• Fecho transitivo
• Fecho reflexivo

Referências

• Franz Baader; Tobias Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge University Press, 1998, p. 8