Filtro (teoria dos conjuntos)

Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um filtro $F^{\,}$ em um conjunto $S^{\,}$ é uma coleção de subconjuntos de $S^{\,}$, ou seja, $F\subset {\mathcal {P}}\left(S\right)\,$, satisfazendo as seguintes condições:

• $\varnothing \notin F\,$
• $S\in F\,$
• $A,B\in F\rightarrow A\cap B\in F\,$
• $A\in F,A\subset B\rightarrow B\in F\,$

Por vezes, a definição não inclui a propriedade $\varnothing \notin F\,$. Com essa definição, os filtros com esta propriedade chamam-se filtros próprios.

Exemplo

• Seja X um espaço topológico e $x\in X\,$. Então a coleção das vizinhanças de x é um filtro.

Reticulados e álgebras de Boole

Analogamente, em reticulados L um filtro $F^{\,}$ é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:

• $a,b\in F\rightarrow a\wedge b\in F\,$

• $a\in F,a\leq b\rightarrow b\in F\,$

Numa álgebras de Boole com máximo $1\!{\mbox{I}}$ e mínimo $\mathbb {O}$, às condições anteriores são acrescentadas:

• $\mathbb {O} \not \in F$

• $1\!{\mbox{I}}\in F$

Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.

Filtros principais

Se um filtro $F^{\,}$ sobre $A^{\,}$ tem a forma:

$F=\left\{x\in A\!:x\geq a\right\}$

com $a\in A$, então $F^{\,}$ é o filtro principal gerado por $a^{\,}$. Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.

Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":

$F=\left\{x\in {\mathcal {P}}\left(\mathbb {N} \right)\!:x{\mbox{ é cofinito }}\right\}$

Um conjunto $x\subseteq \mathbb {N}$ é denominado cofinito se o seu complemento relativo a $\mathbb {N}$ é finito, ou seja $\mathbb {N} -x$ é finito. Por exemplo:

$C=\left\{x\in \mathbb {N} \!:x>7\right\}$

é cofinito, pois o seu complemento é:

$D=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}$

e $\;\;D^{\,}$ é finito.

Ultrafiltros

Um ultrafiltro $\,U^{\,}$ é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro $F^{\,}$ tal que $U\subset F\,$. Por exemplo, seja $A$ um conjunto não vazio com $a\in A$:

$U=\left\{x\in {\mathcal {P}}\!\left(A\right)\!:a\in x\right\}$

é um ultrafiltro. Nesse caso, $U^{\,}$ é o ultrafiltro principal, gerado por $a^{\,}$. Analogamente, se $A^{\,}$ é uma álgebra de Boole e $a^{\,}$ é um átomo em $A$, então $U=\left\{x\in A\!:a\leq x\right\}$ é o ultrafiltro principal gerado por $a$.

Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.